Раскроем скобки и определим, какие сложные прилагательные пишутся слитно, руководствуясь правилами русского языка:
- 1) пятиметровый (образовано от словосочетания, где главное слово - метровый) - пишется слитно.
- 2) шахматно-шашечный кружок (образовано от двух существительных, обозначающих разные понятия) - пишется через дефис.
- 3) хлопчатобумажный (образовано от словосочетания, где главное слово - бумажный) - пишется слитно.
- 4) светло-синий (обозначает оттенок цвета) - пишется через дефис.
- 5) русско-английский (обозначает равноправные признаки) - пишется через дефис.
- 6) правобережный (образовано от словосочетания, где главное слово - бережный) - пишется слитно.
- 7) кораблестроительный (образовано от словосочетания, где главное слово - строительный) - пишется слитно.
- 8) северо-западный (обозначает промежуточное направление) - пишется через дефис.
- 9) белый-белый (усиливает признак) - пишется через дефис.
- 10) прошлогодний (образовано от словосочетания, где главное слово - годний) - пишется слитно.
Следовательно, слитно пишутся сложные прилагательные под номерами: 1, 3, 6, 7, 10.
Ответ: 1, 3, 6, 7, 10