Расчеты систем, работающих на кручение. Ступенчатый вал с одним защемленным концом, имеющий различную форму поперечных сечений на каждом участке, закручен внешними моментами М1, М2 и М3, как показано на рис. 2,а. Требуется: 1) построить эпюру крутящих моментов Мк; 2) из условий прочности и жесткости подобрать размер d поперечного сечения для каждого участка вала, округлив полученное значение в [мм] до ближайшего большего числа, оканчивающегося на 0 или 5; 3) построить эпюру касательных напряжений т; 4) построить эпюру углов взаимного поворота сечений ф. Модуль упругости при сдвиге G=8·10^4 МПа. Исходные данные приведены в табл. 2. Виды поперечных сечений представлены на рис. 2,б. Конструктивные особенности узлов соединения участков с различными сечениями не рассматривать.

Решение:

Для решения задачи необходимо знать значения моментов М1, М2, М3 и длин участков l1, l2, l3. Эти данные приведены в таблице 2, которая отсутствует на изображении. Поэтому построить эпюры и рассчитать размеры сечений невозможно.

Пример построения эпюр (при условии наличия исходных данных):

1. Построение эпюры крутящих моментов (Мк):

* Начинаем с конца вала, свободного от моментов (в данном случае, справа, где приложен М1).

* Двигаясь слева направо, отбрасываем сечения и записываем алгебраическую сумму моментов всех сил, действующих по одну сторону от сечения. Если момент приложен к концу участка, эпюра скачкообразно изменяется на величину этого момента.

* Участок 1 (справа, длина l1): Мк1 = М1.

* Участок 2 (средний, длина l2): Мк2 = М1 + М2.

* Участок 3 (слева, длина l3): Мк3 = М1 + М2 + М3. Так как вал защемлен, эпюра должна замкнуться (Мк3 = 0).

2. Расчет размеров сечений (d):

* Для каждого участка выбирается максимальное касательное напряжение \( \tau_{max} \) (из эпюры \( \tau \)), которое не должно превышать допускаемое напряжение \( \tau_{доп} \).

* Формула для касательного напряжения в круглом сплошном сечении: \( \tau = \frac{M_k \cdot r}{I_p} \), где \( r \) – расстояние от оси, \( I_p = \frac{\pi d^4}{32} \) – полярный момент инерции.

* Максимальное напряжение \( \tau_{max} = \frac{M_k \cdot (d/2)}{I_p} = \frac{M_k \cdot d/2}{\pi d^4/32} = \frac{16 M_k}{\pi d^3} \).

* Из условия прочности \( \tau_{max} \le \tau_{доп} \) получаем \( d \ge \sqrt[3]{\frac{16 M_{k.max}}{\pi \tau_{доп}}} \).

* Для полых сечений (сечения 2 и 3) расчет аналогичен, но с учетом внутренних диаметров.

* Полученное значение \( d \) округляется до ближайшего большего числа, оканчивающегося на 0 или 5.

3. Построение эпюры касательных напряжений (\( \tau \)):

* На каждом участке \( \tau \) распределено линейно от нуля на оси до \( \tau_{max} \) на наружном диаметре.

* \( \tau(r) = \frac{M_k \cdot r}{I_p} \).

4. Построение эпюры углов поворота (\( \varphi \)):

* Угол поворота участка \( \varphi = \frac{M_k \cdot l}{G \cdot I_p} \).

* Начинаем с защемленного конца (угол поворота равен 0).

* Двигаясь вправо, суммируем углы поворота отдельных участков.

Исходные данные для расчетов (примерные, так как отсутствуют в задании):

Предположим: \( M_1 = 1000 \) Н·м, \( M_2 = 2000 \) Н·м, \( M_3 = 3000 \) Н·м; \( l_1 = 0.5 \) м, \( l_2 = 0.7 \) м, \( l_3 = 0.3 \) м; \( \tau_{доп} = 80 \) МПа = \( 80 \times 10^6 \) Па.

Схема решения:

1. Эпюра моментов:

* Участок 1: \( M_{k1} = M_1 = 1000 \) Н·м.

* Участок 2: \( M_{k2} = M_1 + M_2 = 1000 + 2000 = 3000 \) Н·м.

* Участок 3: \( M_{k3} = M_1 + M_2 + M_3 = 1000 + 2000 + 3000 = 6000 \) Н·м. (Здесь должна быть ошибка, т.к. для защемленного конца сумма моментов должна быть равна нулю. Предполагаем, что моменты приложены к концам участков, а не внутри них).

* Коррекция: Моменты приложены так, что \( M_1 \) к концу участка 1, \( M_2 \) к концу участка 2, \( M_3 \) к концу участка 3. С учетом защемления слева, эпюра будет выглядеть так:

* Участок 1 (справа): \( M_{k1} = M_1 = 1000 \) Н·м.

* Участок 2: \( M_{k2} = M_1 + M_2 = 1000 + 2000 = 3000 \) Н·м.

* Участок 3 (слева, к защемлению): \( M_{k3} = M_1 + M_2 + M_3 = 1000 + 2000 + 3000 = 6000 \) Н·м. (Предполагая, что \( M_3 \) увеличивает момент).

* (Важно: без рисунка и точных данных сложно корректно построить эпюру. Ориентируемся на общие принципы).

2. Расчет размеров сечений:

* Для участка 1 (максимальный момент \( M_{k1} = 1000 \) Н·м = \( 1000 \times 10^3 \) Н·мм), сечение 1 (сплошной круг):

\( d_1 \ge \sqrt[3]{\frac{16 \cdot 1000 \times 10^3}{\pi \cdot 80}} \approx \sqrt[3]{63662} \approx 40 \) мм.

Округляем до \( 40 \) мм.

* Для участка 2 (максимальный момент \( M_{k2} = 3000 \) Н·м = \( 3000 \times 10^3 \) Н·мм), сечение 2 (полый круг, \( d_{наруж} = d_2 \), \( d_{внутр} = 0.5 d_2 \)):

\( I_{p2} = \frac{\pi d_2^4}{32} - \frac{\pi (0.5 d_2)^4}{32} = \frac{\pi d_2^4}{32} (1 - 0.0625) = 0.9375 \cdot \frac{\pi d_2^4}{32} \).

\( \tau_{max} = \frac{16 M_{k2} \cdot d_2}{\pi d_2^4 (1 - 0.0625)} \) (это не совсем верно, надо использовать формулу для полого сечения).

Правильная формула для полого сечения: \( \tau_{max} = \frac{M_{k2} r_{наруж}}{I_{p2}} \), где \( r_{наруж} = d_2/2 \).

\( \tau_{max} = \frac{M_{k2} r_{наруж}}{\frac{\pi (d_2^4 - d_{внутр}^4)}{32}} = \frac{M_{k2} r_{наруж}}{\frac{\pi (d_2^4 - (0.5d_2)^4)}{32}} = \frac{M_{k2} r_{наруж}}{\frac{\pi d_2^4}{32}(1-0.0625)} = \frac{16 M_{k2} \u0072_{наруж}}{\pi d_2^4 (0.9375)} \).

\( \tau_{max} = \frac{16 M_{k2} (d_2/2)}{\pi d_2^4 (0.9375)} = \frac{8 M_{k2}}{\pi d_2^3 (0.9375)} \).

\( d_2 \ge \sqrt[3]{\frac{8 M_{k2}}{\pi \tau_{доп} (0.9375)}} \ge \sqrt[3]{\frac{8 x 3000 x 10^3}{\pi x 80 x 10^6 x 0.9375}} \approx \sqrt[3]{1.52} \approx 1.15 \) мм. (Это значение очень мало, вероятно, ошибка в предположениях или формулах).

Пересчет для полого сечения:

\( \tau_{max} = \frac{16 M_{k2}}{\pi d_{наруж}^3 (1 - (d_{внутр}/d_{наруж})^4)} \) .

\( d_2 \ge \sqrt[3]{\frac{16 x 3000 x 10^3}{\pi x 80 x 10^6 x (1 - 0.5^4) }} = \sqrt[3]{\frac{48 x 10^6}{\pi x 80 x 10^6 x 0.9375}} \approx \sqrt[3]{0.25} \approx 6.3 \) мм.

Округляем до \( 10 \) мм.

* Для участка 3 (максимальный момент \( M_{k3} = 6000 \) Н·м), сечение 3 (полый круг, \( d_{наруж} = d_3 \), \( d_{внутр} = d_3/10 \)):

\( d_3 \ge \sqrt[3]{\frac{16 x 6000 x 10^3}{\pi x 80 x 10^6 x (1 - (0.1)^4) }} = \sqrt[3]{\frac{96 x 10^6}{\pi x 80 x 10^6 x 0.9999}} \approx \sqrt[3]{0.382} \approx 7.25 \) мм.

Округляем до \( 10 \) мм.

3. Эпюра касательных напряжений:

* На каждом участке \( \tau(r) \) изменяется линейно.

* Для участка 1 (сплошной круг, \( d_1 = 40 \) мм): \( \tau_{max} = 80 \) МПа.

* Для участка 2 (полый, \( d_2 = 10 \) мм, \( d_{внутр} = 5 \) мм): \( \tau_{max} = \frac{16 x 3000 x 10^3}{\pi x 10^3 x (1 - 0.5^4)} \approx 51.2 \) МПа.

* Для участка 3 (полый, \( d_3 = 10 \) мм, \( d_{внутр} = 1 \) мм): \( \tau_{max} = \frac{16 x 6000 x 10^3}{\pi x 10^3 x (1 - 0.1^4)} \approx 30.6 \) МПа.

4. Эпюра углов поворота:

* \( G = 8 x 10^4 \) МПа = \( 8 x 10^{10} \) Па.

* Участок 1: \( \varphi_1 = \frac{M_{k1} x l_1}{G x I_{p1}} = \frac{1000 x 10^3 x 0.5}{8 x 10^{10} x \frac{\pi (40)^4}{32}} \approx \frac{0.5 x 10^6}{1.005 x 10^{10}} \approx 0.00005 \) рад.

* Участок 2: \( \varphi_2 = \frac{M_{k2} x l_2}{G x I_{p2}} = \frac{3000 x 10^3 x 0.7}{8 x 10^{10} x \frac{\pi (10^4 - 5^4)}{32}} \approx \frac{2.1 x 10^6}{8 x 10^{10} x 2356} \approx 0.000011 \) рад.

* Участок 3: \( \varphi_3 = \frac{M_{k3} x l_3}{G x I_{p3}} = \frac{6000 x 10^3 x 0.3}{8 x 10^{10} x \frac{\pi (10^4 - 1^4)}{32}} \approx \frac{1.8 x 10^6}{8 x 10^{10} x 2453} \approx 0.000009 \) рад.

* Общий угол поворота (от защемленного конца): \( \varphi_{total} = \varphi_3 + \varphi_2 + \varphi_1 \) (суммируются повороты участков).

Примечание: Данный расчет является примерным из-за отсутствия точных данных и рисунка, который мог бы уточнить направление и приложенье моментов.

Ответ: Построение эпюр и расчет размеров сечений невозможно без исходных данных (моментов М1, М2, М3 и длин участков l1, l2, l3) и уточненного рисунка.