Радиусы оснований усеченного конуса 3 дм и 7 дм, образующая 5 дм. Найдите площадь осевого сечения.

Решение:

Для нахождения площади осевого сечения усеченного конуса, нам нужно знать радиусы оснований и высоту конуса. В данной задаче даны радиусы оснований ( \( r_1 = 3 \) дм, \( r_2 = 7 \) дм) и образующая ( \( l = 5 \) дм).

Осевое сечение усеченного конуса — это равнобедренная трапеция. Основания трапеции равны диаметрам оснований конуса, а боковые стороны равны образующей конуса.

Диаметр большего основания: \( d_2 = 2 \cdot r_2 = 2 \cdot 7 = 14 \) дм.

Диаметр меньшего основания: \( d_1 = 2 \cdot r_1 = 2 \cdot 3 = 6 \) дм.

Теперь найдем высоту конуса. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный образующей, высотой конуса и разностью радиусов оснований. Катеты этого треугольника равны высоте \( h \) и разности радиусов \( r_2 - r_1 \). Гипотенуза — это образующая \( l \).

По теореме Пифагора:

\[ h^2 + (r_2 - r_1)^2 = l^2 \]

\[ h^2 + (7 - 3)^2 = 5^2 \]

\[ h^2 + 4^2 = 5^2 \]

\[ h^2 + 16 = 25 \]

\[ h^2 = 25 - 16 \]

\[ h^2 = 9 \]

\[ h = \sqrt{9} = 3 \) дм.

Площадь осевого сечения (трапеции) вычисляется по формуле:

\[ S_{сеч} = \frac{d_1 + d_2}{2} \cdot h \]

\[ S_{сеч} = \frac{6 + 14}{2} \cdot 3 \]

\[ S_{сеч} = \frac{20}{2} \cdot 3 \]

\[ S_{сеч} = 10 \cdot 3 \]

\[ S_{сеч} = 30 \) кв. дм.

Ответ: Площадь осевого сечения усеченного конуса равна 30 кв. дм.