Радиус основания цилиндра равен 25, а его образующая равна 15. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от неё на расстояние, равное 24. Найдите площадь этого сечения.

Решение:

Задача заключается в нахождении площади прямоугольника, являющегося сечением цилиндра. Высота этого прямоугольника равна образующей цилиндра, а ширина — хорде основания, которая находится на заданном расстоянии от центра.

1. Дано:
   Радиус основания цилиндра \( R = 25 \)
   Образующая цилиндра (высота сечения) \( h = 15 \)
   Расстояние от оси цилиндра до сечения \( d = 24 \)
2. Найти:
   Площадь сечения \( S \)
3. Нахождение ширины сечения (хорды):
   Рассмотрим основание цилиндра как круг. Хорда, параллельная оси, удалена от неё на расстояние \( d \). Отрезок, соединяющий центр основания с серединой хорды, перпендикулярен хорде и имеет длину \( d \). Радиус, проведённый к одному из концов хорды, образует с этим отрезком и половиной хорды прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора:
   \[ \left(\frac{a}{2}\right)^2 + d^2 = R^2 \]
   где \( a \) — длина хорды (ширина сечения).
   \[ \left(\frac{a}{2}\right)^2 = R^2 - d^2 \]
   \[ \left(\frac{a}{2}\right)^2 = 25^2 - 24^2 \]
   \[ \left(\frac{a}{2}\right)^2 = 625 - 576 \]
   \[ \left(\frac{a}{2}\right)^2 = 49 \]
   \[ \frac{a}{2} = \sqrt{49} = 7 \]
   \[ a = 2 \cdot 7 = 14 \]
4. Нахождение площади сечения:
   Сечение является прямоугольником со сторонами \( a \) (ширина) и \( h \) (высота).
   \[ S = a \cdot h \]
   \[ S = 14 \cdot 15 \]
   \[ S = 210 \]

Ответ: Площадь сечения равна 210.