1. Радиус основания конуса равен 5 см образующая - 13 см. Площадь осевого сечения конуса равна: а) 65 см³ 2. в) 30 см³; б) 120 см³; г) 60 см². 2. Образующая конуса равна 10 см и составляет с основанием угол arccos 2 5 Найдите площадь боковой поверхности конуса. а) 20л см²; в) 40л см²; 2 б) 10/21л см²; г) 10л см². 2 3. Площади оснований усеченного конуса равны 49л см² и 169п см², высота - 8 см. Найдите длину об- разующей усеченного конуса. а) 12 см; б) 8 см; г) 10 см. в) 9 см; 4. Радиус основания конуса равен 2 см, образующая - 6 см. Найдите центральный угол в развертке боковой поверх ности конуса. 5. Осевое сечение конуса - равносторонний треугольник В конус вписана треугольная пирамида, в основании которой лежит прямоугольный треугольник с катетами 12 см и 16 см. Найдите высоту конуса.

Давай разберем задачи по геометрии конуса по порядку.

Задача 1

Радиус основания конуса r = 5 см, образующая l = 13 см. Нужно найти площадь осевого сечения конуса.

Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник, основанием которого является диаметр основания конуса, а боковыми сторонами — образующие конуса.

Площадь треугольника можно найти как половину произведения основания на высоту. В данном случае, основание — это диаметр, то есть 2r = 10 см.

Высоту h найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного высотой, радиусом и образующей: h = √(l² - r²) = √(13² - 5²) = √(169 - 25) = √144 = 12 см.

Тогда площадь осевого сечения S = 0.5 * 2r * h = r * h = 5 * 12 = 60 см².

Ответ: г) 60 см²

Задача 2

Образующая конуса l = 10 см и составляет с основанием угол arccos(2/5). Нужно найти площадь боковой поверхности конуса.

Площадь боковой поверхности конуса S = πrl, где r — радиус основания.

Угол между образующей и основанием α = arccos(2/5), значит cos(α) = 2/5.

Из прямоугольного треугольника, образованного радиусом, высотой и образующей, имеем cos(α) = r / l.

Тогда r = l * cos(α) = 10 * (2/5) = 4 см.

Площадь боковой поверхности S = π * 4 * 10 = 40π см².

Ответ: в) 40π см²

Задача 3

Площади оснований усеченного конуса S₁ = 49π см² и S₂ = 169π см², высота h = 8 см. Нужно найти длину образующей усеченного конуса.

Радиусы оснований: r₁ = √(S₁ / π) = √(49π / π) = 7 см и r₂ = √(S₂ / π) = √(169π / π) = 13 см.

Образующая l, высота h и разность радиусов r₂ - r₁ образуют прямоугольный треугольник.

По теореме Пифагора l = √((r₂ - r₁)² + h²) = √((13 - 7)² + 8²) = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 см.

Ответ: г) 10 см

Задача 4

Радиус основания конуса r = 2 см, образующая l = 6 см. Нужно найти центральный угол в развертке боковой поверхности конуса.

Длина окружности основания C = 2πr = 2π * 2 = 4π см.

Длина дуги сектора (развертки) равна длине окружности основания конуса. Длина дуги сектора L = Rθ, где R — радиус сектора (образующая конуса), θ — центральный угол в радианах.

Тогда 4π = 6θ, θ = (4π) / 6 = (2π) / 3 радиан.

В градусах θ = ((2π) / 3) * (180 / π) = 120 градусов.

Ответ: 120 градусов

Задача 5

Осевое сечение конуса — равносторонний треугольник. В конус вписана треугольная пирамида, в основании которой лежит прямоугольный треугольник с катетами 12 см и 16 см. Нужно найти высоту конуса.

Так как осевое сечение конуса — равносторонний треугольник, то высота конуса h = (a√3) / 2, где a — сторона равностороннего треугольника, которая равна диаметру основания конуса 2r.

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы. Гипотенуза прямоугольного треугольника c = √(12² + 16²) = √(144 + 256) = √400 = 20 см.

Радиус основания конуса r = c / 2 = 20 / 2 = 10 см. a = 2r = 20 см.

Тогда высота конуса h = (20√3) / 2 = 10√3 см.

Ответ: 10√3 см

Ответ: г) 60 см²