Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, равен 2. Вычисли сторону шестиугольника а и его площадь S.

Решение.

Радиус вписанной окружности в правильный шестиугольник равен:

$$r = \frac{\sqrt{3}}{2}a$$

где a - сторона шестиугольника.

Выразим сторону шестиугольника через радиус:

$$a = \frac{2r}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$$

Площадь правильного шестиугольника равна:

$$S = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot (\frac{4\sqrt{3}}{3})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{16 \cdot 3}{9} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{16}{3} = \sqrt{3} \cdot 8 = 8\sqrt{3}$$

Сторона шестиугольника $$a = \frac{4\sqrt{3}}{3}$$, площадь шестиугольника $$S = 8\sqrt{3}$$.

Ответ: $$a = \frac{4\sqrt{3}}{3}$$, $$S = 8\sqrt{3}$$