12.1 Работая вместе, два насоса наполняют резервуар за 12 ч. Первый насос наполняет этот резервуар за 48 ч. За сколько часов наполняет резервуар второй насос?

Обозначим:

• $$V$$ – объём резервуара;
• $$t_1$$ – время, за которое первый насос наполняет резервуар;
• $$t_2$$ – время, за которое второй насос наполняет резервуар;
• $$t_{совм}$$ – время, за которое два насоса, работая вместе, наполняют резервуар.

Производительность насосов:

• Производительность первого насоса: $$P_1 = \frac{V}{t_1}$$;
• Производительность второго насоса: $$P_2 = \frac{V}{t_2}$$;
• Совместная производительность: $$P_{совм} = \frac{V}{t_{совм}}$$.

Совместная производительность равна сумме производительностей каждого насоса:

$$\frac{V}{t_{совм}} = \frac{V}{t_1} + \frac{V}{t_2}$$

Разделим обе части уравнения на $$V$$:

$$\frac{1}{t_{совм}} = \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}$$

Выразим $$\frac{1}{t_2}$$:

$$\frac{1}{t_2} = \frac{1}{t_{совм}} - \frac{1}{t_1}$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{1}{t_2} = \frac{t_1 - t_{совм}}{t_{совм} \cdot t_1}$$

Найдём $$t_2$$:

$$t_2 = \frac{t_{совм} \cdot t_1}{t_1 - t_{совм}}$$

Подставим значения: $$t_{совм} = 12$$ ч, $$t_1 = 48$$ ч:

$$t_2 = \frac{12 \cdot 48}{48 - 12} = \frac{12 \cdot 48}{36} = \frac{48}{3} = 16$$

Второй насос наполняет резервуар за 16 часов.

Ответ: 16 ч.