Пусть $$\omega$$ — вписанная окружность треугольника $$ABC$$, $$\Omega$$ — вневписанная окружность треугольника $$ABC$$, касающаяся стороны $$BC$$. Выберите все точки, с центром в которых существует гомотетия, переводящая $$\omega$$ в $$\Omega$$.

Решение:

Центром гомотетии, переводящей вписанную окружность $$\omega$$ во вневписанную окружность $$\Omega$$, касающуюся стороны $$BC$$, является точка пересечения биссектрисы угла $$A$$ с осью симметрии, проходящей через середины отрезков, соединяющих точки касания окружности $$\omega$$ со сторонами $$AB$$ и $$AC$$.

Эта точка также является центром гомотетии, переводящей вписанную окружность в любую из трех вневписанных окружностей.

В данном случае, поскольку вневписанная окружность $$\Omega$$ касается стороны $$BC$$, то центром гомотетии является точка пересечения биссектрисы угла $$A$$ с осью, соединяющей середины сторон $$AB$$ и $$AC$$. Однако, в предложенных вариантах ответов нет такой точки.

Рассмотрим свойства гомотетии, переводящей вписанную окружность во вневписанную. Центр такой гомотетии лежит на биссектрисе угла, соответствующего стороне, к которой касается вневписанная окружность. Для вневписанной окружности, касающейся стороны $$BC$$, центр гомотетии лежит на биссектрисе угла $$A$$.

Кроме того, центром гомотетии, переводящей вписанную окружность в любую из вневписанных окружностей, является одна из вершин треугольника, если одна из окружностей касается двух сторон, исходящих из этой вершины, а другая - противоположной стороны. Однако, в нашем случае, речь идет о двух окружностях, и их центры различны.

Правильные варианты:

• A (вершина треугольника)
• Середина отрезка $$BC$$ (центр вневписанной окружности, касающейся $$BC$$, лежит на серединном перпендикуляре к $$BC$$ только в случае равнобедренного треугольника, но гомотетия может иметь центром любую точку, если её коэффициент соответствует. Однако, в контексте классической задачи, центр гомотетии, переводящий вписанную и вневписанную окружности, является вершиной треугольника.)

Обоснование:

Центр гомотетии, переводящей вписанную окружность в вневписанную, расположенную напротив вершины $$A$$ (то есть касающуюся стороны $$BC$$), является точка пересечения биссектрисы угла $$A$$ с прямой, соединяющей точки касания вписанной окружности со сторонами $$AB$$ и $$AC$$. Эта точка является вершиной $$A$$.

Важно: По условию задачи, центр гомотетии должен переводить $$\omega$$ в $$\Omega$$. В классической задаче о гомотетии, переводящей вписанную окружность в одну из вневписанных, центром гомотетии является одна из вершин треугольника. Если вневписанная окружность касается стороны $$BC$$, то центром гомотетии является вершина $$A$$.