Пусть АВС – прямоугольный треугольник, причем ∠BAC = 90°; AC = 4; BC = 8; AD – медиана треугольника ABC, DK – медиана треугольника ADC, KL – медиана треугольника DKC. Найти длину KL.

Решение:

Давай разберем эту задачу по геометрии шаг за шагом. Наша цель – найти длину медианы KL в треугольнике DKC.

1. Анализ треугольника ABC:
   • ABC – прямоугольный треугольник с углом BAC = 90°.
   • AC = 4, BC = 8.
   • AD – медиана, проведенная к гипотенузе BC. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Следовательно, AD = BC / 2 = 8 / 2 = 4.
2. Анализ треугольника ADC:
   • AC = 4, AD = 4. Следовательно, треугольник ADC – равнобедренный.
   • DK – медиана треугольника ADC.
3. Анализ треугольника DKC:
   • KL – медиана треугольника DKC.
   • Чтобы найти длину KL, нам нужно больше информации о треугольнике DKC.
4. Нахождение угла DCA:
   • В прямоугольном треугольнике ABC: sin(∠B) = AC / BC = 4 / 8 = 1/2. Следовательно, ∠B = 30°.
   • ∠ACB = 90° - ∠B = 90° - 30° = 60°.
   • Так как AD = CD, треугольник ADC – равнобедренный, и ∠DAC = ∠DCA = 60°. Следовательно, треугольник ADC – равносторонний, и DC = AD = AC = 4.
5. Нахождение DK:
   • DK – медиана равностороннего треугольника ADC, а значит, она также является высотой.
   • В прямоугольном треугольнике DКC (К - середина AC): DK = DC * sin(60°) = 4 * √3 / 2 = 2√3.
   • KC = AC / 2 = 4 / 2 = 2.
6. Анализ треугольника DKC:
   • DK = 2√3, KC = 2.
   • KL – медиана треугольника DKC.
7. Нахождение длины LC:
   • LC = \(\frac{1}{2}\) DC = \(\frac{1}{2}\) * 4 = 2.
8. Нахождение длины KL:
   • Так как KL - медиана, то она равна половине гипотенузы DC.
   • KL = \(\frac{1}{2}\) * DC = \(\frac{1}{2}\) * 2 = 1.

Ответ: 1

Ты отлично справился с этой задачей! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!