569 Пусть а, в, с – стороны треугольника, Р – периметр треугольника, r – радиус вписанной окружности, S – площадь треугольника. Найдите: a) r, если Р = 56, S = 84; б) Ѕ, если Р = 144, r = 3,5; в) а, если b = 15, c = 20, r = 2, S = 42.

a) Площадь треугольника можно вычислить по формуле: $$S = p \cdot r$$, где $$p$$ - полупериметр, $$r$$ - радиус вписанной окружности. Полупериметр равен половине периметра: $$p = \frac{P}{2}$$. Выразим радиус вписанной окружности: $$r = \frac{S}{p} = \frac{2S}{P}$$. Подставим известные значения: $$r = \frac{2 \cdot 84}{56} = \frac{168}{56} = 3$$.

Ответ: 3

б) Площадь треугольника можно вычислить по формуле: $$S = p \cdot r$$, где $$p$$ - полупериметр, $$r$$ - радиус вписанной окружности. Полупериметр равен половине периметра: $$p = \frac{P}{2}$$. Подставим известные значения: $$p = \frac{144}{2} = 72$$. Тогда $$S = 72 \cdot 3,5 = 252$$.

Ответ: 252

в) Площадь треугольника можно вычислить по формуле Герона: $$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$, где $$p$$ - полупериметр, $$a$$, $$b$$, $$c$$ - стороны треугольника. Также площадь можно вычислить по формуле: $$S = p \cdot r$$, где $$r$$ - радиус вписанной окружности. Полупериметр равен половине периметра: $$p = \frac{a+b+c}{2}$$. Приравняем формулы площади: $$p \cdot r = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$. Подставим известные значения в формулу $$S = p \cdot r$$: $$42 = \frac{a+15+20}{2} \cdot 2$$, откуда $$42 = a + 35$$, следовательно, $$a = 42 - 35 = 7$$.

Ответ: 7