Пушка расположена у основания склона, образующего с горизонтом угол α = 30°. Под каким углом β к склону следует произвести выстрел с начальной скоростью v₀ = 100 м/с так, чтобы дальность полёта снаряда вдоль склона была наибольшей? Найдите эту максимальную дальность Sₘₐₓ.

Будем считать, что сопротивлением воздуха пренебрегают, а выстрел производится вверх вдоль склона.

Угол выстрела к горизонту равен \(\alpha+\beta\). Дальность полёта вдоль склона:

\[S=\frac{2v_0^2\cos(\alpha+\beta)\sin\beta}{g\cos^2\alpha}.\]

При фиксированных \(v_0\), \(g\) и \(\alpha\) необходимо максимизировать произведение \(\sin\beta\cos(\alpha+\beta)\).

Используем формулу сложения:

\[2\sin\beta\cos(\alpha+\beta)=\sin(2\beta+\alpha)-\sin\alpha.\]

Максимальное значение достигается при \(\sin(2\beta+\alpha)=1\), то есть

\[2\beta+\alpha=90^\circ.\]

Следовательно,

\[\beta=\frac{90^\circ-30^\circ}{2}=30^\circ.\]

Подставим найденное значение в формулу дальности:

\[S_{\max}=\frac{2\cdot100^2\cdot\cos60^\circ\cdot\sin30^\circ}{g\cos^230^\circ}.\]

Принимая \(g\approx10\ \text{м/с}^2\), получаем:

\[S_{\max}=\frac{2\cdot10000\cdot0.5\cdot0.5}{10\cdot0.75}\approx666.7\ \text{м}.\]

Ответ: \(\beta=30^\circ\); \(S_{\max}\approx667\ \text{м}\).