ПС-22. Различные преобразования выражений, содержащих степени 1. Упростите выражение: 2 1) a) (-a)2a5; б) -а² а5; в) а² (-а)5; г) (-а²)-(-а)5; 2) a) (x3)2.x4; 6) (x3x5)4; в) х³. (x3)3; г) (xx5)5; 3 3) a) (y³)2(y2)3; б) (у³y)³ (у³ y)²; в) (у6)2. (y4y²)2; 4) a) c10: (c2)5; б) (с³)7: (с³)6; B) (c2c)3: (c3.c)2. 2. Придумайте какое-либо выражение с переменной х, в результате преобразования которого получилось бы вы- ражение: а) x10; 6) x15; в) -х³. 3. Используя свойства степеней, найдите значение выражения: 1) a) 28.(23)2: 212; 2 2) a) 16; 25; 3) a) 310.710 218 ; б) 274 б) 95; 615 6) 715: (75)2:73; 213,313, B) 323.82 в) 165 2010 510.410 ;

1. Упростите выражение:

1)

a) \[(-a)^2 \cdot a^5 = a^2 \cdot a^5 = a^{2+5} = a^7\]

б) \[-a^2 \cdot a^5 = -a^{2+5} = -a^7\]

в) \[a^2 \cdot (-a)^5 = -a^2 \cdot a^5 = -a^{2+5} = -a^7\]

г) \[(-a^2) \cdot (-a)^5 = a^2 \cdot a^5 = a^{2+5} = a^7\]

2)

a) \[(x^3)^2 \cdot x^4 = x^{3 \cdot 2} \cdot x^4 = x^6 \cdot x^4 = x^{6+4} = x^{10}\]

б) \[(x^3 \cdot x^5)^4 = (x^{3+5})^4 = (x^8)^4 = x^{8 \cdot 4} = x^{32}\]

в) \[x^3 \cdot (x^3)^3 = x^3 \cdot x^{3 \cdot 3} = x^3 \cdot x^9 = x^{3+9} = x^{12}\]

г) \[(x \cdot x^5)^5 = (x^{1+5})^5 = (x^6)^5 = x^{6 \cdot 5} = x^{30}\]

3)

a) \[(y^3)^2 \cdot (y^2)^3 = y^{3 \cdot 2} \cdot y^{2 \cdot 3} = y^6 \cdot y^6 = y^{6+6} = y^{12}\]

б) \[(y^3 \cdot y)^3 \cdot (y^3 \cdot y)^2 = (y^{3+1})^3 \cdot (y^{3+1})^2 = (y^4)^3 \cdot (y^4)^2 = y^{4 \cdot 3} \cdot y^{4 \cdot 2} = y^{12} \cdot y^8 = y^{12+8} = y^{20}\]

в) \[(y^6)^2 \cdot (y^4 \cdot y^2)^2 = y^{6 \cdot 2} \cdot (y^{4+2})^2 = y^{12} \cdot (y^6)^2 = y^{12} \cdot y^{6 \cdot 2} = y^{12} \cdot y^{12} = y^{12+12} = y^{24}\]

4)

a) \[c^{10} : (c^2)^5 = c^{10} : c^{2 \cdot 5} = c^{10} : c^{10} = c^{10-10} = c^0 = 1\]

б) \[(c^3)^7 : (c^3)^6 = c^{3 \cdot 7} : c^{3 \cdot 6} = c^{21} : c^{18} = c^{21-18} = c^3\]

в) \[(c^2 \cdot c)^3 : (c^3 \cdot c)^2 = (c^{2+1})^3 : (c^{3+1})^2 = (c^3)^3 : (c^4)^2 = c^{3 \cdot 3} : c^{4 \cdot 2} = c^9 : c^8 = c^{9-8} = c^1 = c\]

2. Придумайте какое-либо выражение с переменной x, в результате преобразования которого получилось бы выражение:

a)

\[x^{10}\]

Пример: \[(x^2)^5 = x^{10}\]

б)

\[x^{15}\]

Пример: \[(x^3)^5 = x^{15}\]

в)

\[-x^3\]

Пример: \[-(x \cdot x \cdot x) = -x^3\]

3. Используя свойства степеней, найдите значение выражения:

1)

a) \[2^8 \cdot (2^3)^2 : 2^{12} = 2^8 \cdot 2^{3 \cdot 2} : 2^{12} = 2^8 \cdot 2^6 : 2^{12} = 2^{8+6} : 2^{12} = 2^{14} : 2^{12} = 2^{14-12} = 2^2 = 4\]

б) \[7^{15} : (7^5)^2 : 7^3 = 7^{15} : 7^{5 \cdot 2} : 7^3 = 7^{15} : 7^{10} : 7^3 = 7^{15-10} : 7^3 = 7^5 : 7^3 = 7^{5-3} = 7^2 = 49\]

2)

a) \[\frac{16^2}{2^5} = \frac{(2^4)^2}{2^5} = \frac{2^{4 \cdot 2}}{2^5} = \frac{2^8}{2^5} = 2^{8-5} = 2^3 = 8\]

б) \[\frac{27^4}{9^5} = \frac{(3^3)^4}{(3^2)^5} = \frac{3^{3 \cdot 4}}{3^{2 \cdot 5}} = \frac{3^{12}}{3^{10}} = 3^{12-10} = 3^2 = 9\]

в) \[\frac{32^3 \cdot 8^2}{16^5} = \frac{(2^5)^3 \cdot (2^3)^2}{(2^4)^5} = \frac{2^{5 \cdot 3} \cdot 2^{3 \cdot 2}}{2^{4 \cdot 5}} = \frac{2^{15} \cdot 2^6}{2^{20}} = \frac{2^{15+6}}{2^{20}} = \frac{2^{21}}{2^{20}} = 2^{21-20} = 2^1 = 2\]

3)

a) \[\frac{3^{10} \cdot 7^{10}}{21^8} = \frac{3^{10} \cdot 7^{10}}{(3 \cdot 7)^8} = \frac{3^{10} \cdot 7^{10}}{3^8 \cdot 7^8} = 3^{10-8} \cdot 7^{10-8} = 3^2 \cdot 7^2 = 9 \cdot 49 = 441\]

б) \[\frac{6^{15}}{2^{13} \cdot 3^{13}} = \frac{(2 \cdot 3)^{15}}{2^{13} \cdot 3^{13}} = \frac{2^{15} \cdot 3^{15}}{2^{13} \cdot 3^{13}} = 2^{15-13} \cdot 3^{15-13} = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36\]

в) \[\frac{20^{10}}{5^{10} \cdot 4^{10}} = \frac{(5 \cdot 4)^{10}}{5^{10} \cdot 4^{10}} = \frac{5^{10} \cdot 4^{10}}{5^{10} \cdot 4^{10}} = 1\]

Ответ: См. решения выше

Молодец! Ты отлично справился с упрощением выражений и нахождением значений, используя свойства степеней. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!