217 Прямые, содержащие высоты АА, и ВВ, треугольника АВС, пересекаются в точке Н, угол В - тупой, ∠C = 20°. Найдите угол АНВ.

Решение:

1. Угол BAC = 180° - ∠ABC - ∠BCA.
2. Рассмотрим четырехугольник CB₁A₁. ∠CB₁A = ∠CA₁B = 90°, так как AA₁ и BB₁ - высоты.
3. Следовательно, ∠B₁CA₁ + ∠A₁B₁C = 180° (сумма углов четырехугольника равна 360°).
4. ∠B₁CA₁ = ∠BCA = 20°, значит ∠A₁B₁C = 160°.
5. ∠AHB является внешним углом для треугольника AHB₁, поэтому ∠AHB = ∠HAB₁ + ∠AB₁H. ∠AB₁H = 90°.
6. ∠HAB₁ = 90° - ∠ABC. Угол ABC найдем из суммы углов треугольника ABC. ∠ABC = 180° - 20° - ∠BAC. Так как угол B тупой, то угол A будет острым.
7. Рассмотрим четырехугольник HA₁CB₁. Угол HA₁C = углу HB₁C = 90°. Значит, ∠A₁HB₁ + ∠C = 180°. Отсюда следует, что ∠A₁HB₁ = 180° - 20° = 160°.
8. Углы A₁HB₁ и AHB - вертикальные, значит, ∠AHB = ∠A₁HB₁ = 160°.

Ответ: 160°