Прямые m и n параллельны. Найдите ∠3, если ∠1 = 19°, ∠2 = 82°. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Нам дано, что прямые \( m \) и \( n \) параллельны. Также даны величины углов \( \angle 1 = 19^{\circ} \) и \( \angle 2 = 82^{\circ} \). Необходимо найти величину угла \( \angle 3 \).

Рассмотрим секущую, пересекающую параллельные прямые \( m \) и \( n \).

Угол \( \angle 1 \) и угол, смежный с \( \angle 2 \) (назовем его \( \angle 4 \)), являются накрест лежащими углами при параллельных прямых \( m \) и \( n \) и секущей. Следовательно, \( \angle 1 = \angle 4 \) (если бы секущая была другой, что не так).

Угол \( \angle 2 \) и угол \( \angle 4 \) являются смежными углами, т.е. их сумма равна \( 180^{\circ} \).

\( \angle 2 + \angle 4 = 180^{\circ} \)

\( 82^{\circ} + \angle 4 = 180^{\circ} \)

\( \angle 4 = 180^{\circ} - 82^{\circ} = 98^{\circ} \).

Угол \( \angle 3 \) и угол \( \angle 4 \) являются накрест лежащими при параллельных прямых \( m \) и \( n \) и секущей. Следовательно, \( \angle 3 = \angle 4 \).

\( \angle 3 = 98^{\circ} \).

Альтернативный способ:

Угол \( \angle 1 \) и внутренний накрест лежащий угол с \( \angle 3 \) (назовем его \( \angle 5 \)), равны, так как \( m \parallel n \). Следовательно, \( \angle 5 = \angle 1 = 19^{\circ} \).

Угол \( \angle 2 \) и угол \( \angle 3 \) находятся в сумме \( 360^{\circ} \) вокруг точки пересечения секущей с прямой \( n \).

Угол \( \angle 3 \) и внутренний накрест лежащий угол с \( \angle 1 \) (назовем его \( \angle 5 \)), равны, так как \( m \parallel n \). Следовательно, \( \angle 5 = \angle 1 = 19^{\circ} \).

Угол \( \angle 2 \) и угол \( \angle 3 \) не имеют прямой зависимости.

Угол \( \angle 3 \) и смежный с ним угол (назовем его \( \angle 6 \)) образуют угол \( \angle 2 \) на прямой \( n \), что неверно.

Рассмотрим углы, образованные секущей и прямой \( n \). Угол \( \angle 2 = 82^{\circ} \). Угол, смежный с \( \angle 2 \), равен \( 180^{\circ} - 82^{\circ} = 98^{\circ} \). Этот угол и \( \angle 3 \) являются накрест лежащими при параллельных прямых \( m \) и \( n \) и данной секущей. Значит, \( \angle 3 = 98^{\circ} \).

Ответ: 98°.