1. Прямые а и b параллельны (см. рисунок). Найдите ∠2, если ∠1 = 63°. 2. Точки А и С лежат по разные стороны от прямой BD. Докажите, что если АВ || CD и АВ = CD, то ∆ABD = ∆CDB. 3*. В окружности проведены диаметры АВ и СД. Докажите, что хорды АС и BD параллельны. 4*. При пересечении двух прямых m и n секущей ∠1 и ∠2 – внутренние односторонние углы. Известно, что сумма ∠1 и угла, вертикального ∠2, составляет 180°. Будут ли прямые m и n параллельны?

Решение задания 1

Давай решим задачу, опираясь на свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей.

Поскольку прямые a и b параллельны, а секущая пересекает их, углы ∠1 и ∠2 являются соответственными углами. Соответственные углы при параллельных прямых равны.

Таким образом, если ∠1 = 63°, то и ∠2 = 63°.

Ответ: ∠2 = 63°

---

Решение задания 2

Для доказательства равенства треугольников ∆ABD и ∆CDB, мы можем использовать один из признаков равенства треугольников. В данном случае, нам подойдет признак равенства по двум сторонам и углу между ними.

1. По условию, AB || CD и AB = CD.

2. Рассмотрим сторону BD — она является общей для обоих треугольников.

3. Угол между сторонами AB и BD в треугольнике ABD равен углу между сторонами CD и DB в треугольнике CDB, так как AB || CD, и BD является секущей. Эти углы являются накрест лежащими и, следовательно, равны.

Таким образом, треугольники ∆ABD и ∆CDB равны по двум сторонам (AB = CD, BD — общая) и углу между ними.

Ответ: ∆ABD = ∆CDB (доказано)

---

Решение задания 3*

Для доказательства, что хорды AC и BD параллельны, нужно показать, что углы между этими хордами и, например, диаметром AB равны.

1. В окружности с центром O проведены диаметры AB и CD.
2. Соединим точки A и C, B и D, чтобы получились хорды AC и BD.
3. Рассмотрим углы ∠BAC и ∠ABD. Эти углы опираются на одну и ту же дугу BC.
4. Углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, следовательно, ∠BAC = ∠ABD.
5. Поскольку углы ∠BAC и ∠ABD равны, а они являются накрест лежащими углами при прямых AC и BD и секущей AB, то AC || BD.

Ответ: Хорды AC и BD параллельны (доказано)

---

Решение задания 4*

Давай посмотрим, что можно сказать о прямых m и n, если сумма ∠1 и угла, вертикального ∠2, составляет 180°.

1. Обозначим угол, вертикальный ∠2, как ∠3. Тогда ∠2 = ∠3, так как вертикальные углы равны.

2. По условию, ∠1 + ∠3 = 180°.

3. Заменим ∠3 на ∠2, так как они равны: ∠1 + ∠2 = 180°.

4. Углы ∠1 и ∠2 – внутренние односторонние углы при прямых m и n и секущей.

5. Если сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые m и n параллельны.

Ответ: Прямые m и n параллельны.

Отличная работа! Ты уверенно справился с этими задачами. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!