Прямоугольный треугольник с гипотенузой 3√2 и острым углом 45° вращают вокруг катета. Найдите площадь осевого сечения полученного тела вращения.

Решение:

Дан прямоугольный треугольник. Гипотенуза равна \( 3\sqrt{2} \), один из острых углов равен \( 45° \).

1. Определим второй острый угол: \( 180° - 90° - 45° = 45° \). Таким образом, треугольник равнобедренный.
2. Обозначим катеты как \( a \) и \( b \). Так как треугольник равнобедренный, \( a = b \).
3. По теореме Пифагора: \( a^2 + b^2 = (3\sqrt{2})^2 \).
4. Подставим \( a = b \): \( a^2 + a^2 = (3\sqrt{2})^2 \).
5. \( 2a^2 = 9 × 2 \).
6. \( 2a^2 = 18 \).
7. \( a^2 = 9 \).
8. \( a = 3 \). Значит, катеты равны 3.

   Когда треугольник вращается вокруг катета, осевым сечением получается конус.

   В данном случае, катет, вокруг которого происходит вращение, является высотой конуса (h = 3), а другой катет — радиусом основания конуса (r = 3).

   Площадь осевого сечения конуса — это площадь равнобедренного треугольника, основание которого равно диаметру основания конуса (2r), а высота равна высоте конуса (h).

   Площадь осевого сечения = \( \frac{1}{2} × (2r) × h = r × h \).

   Подставим значения: \( 3 × 3 = 9 \).

Ответ: 9