19.20. Прямоугольник АВCD — основание пирамиды МАВСД. Грани АВМ и СВМ перпендикулярны основанию пирамиды, грань ADM образует с основанием угол 60°, грань CDM- угол 30°. Высота пирамиды равна 3√3 см. Найдите объём пирамиды.

Рассмотрим прямоугольник ABCD в основании пирамиды MABCD. Грани ABM и CBM перпендикулярны основанию, следовательно, ребро MB является высотой пирамиды. Дано, что высота пирамиды MB = $$3\sqrt{3}$$ см.

Грань ADM образует с основанием угол 60°, а грань CDM — угол 30°. Пусть O — проекция точки M на основание ABCD. Тогда углы между гранями ADM и CDM с основанием — это углы MAO и MCO соответственно. Таким образом, \(\angle MAO = 60^\circ\) и \(\angle MCO = 30^\circ\).

Из прямоугольных треугольников MBO, MAO и MCO имеем:

1. $$AO = \frac{MO}{\tan 60^\circ} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 3 \text{ см}$$.

2. $$CO = \frac{MO}{\tan 30^\circ} = \frac{3\sqrt{3}}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 9 \text{ см}$$.

Так как ABCD прямоугольник, то AO = OC невозможно, следовательно, точка O не является точкой пересечения диагоналей прямоугольника.

Пусть точка O лежит на стороне AD. Тогда MO — высота, AO — проекция MA, и \(\angle MAO = 60^\circ\).

Пусть AB = x, BC = y. Тогда AD = y, CD = x.

1. $$AD = \frac{MO}{\tan 60^\circ} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 3 \text{ см}$$.

2. $$CD = \frac{MO}{\tan 30^\circ} = \frac{3\sqrt{3}}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 9 \text{ см}$$.

Теперь мы знаем, что AD = BC = 3 см и CD = AB = 9 см. Площадь основания ABCD равна:

$$S_{ABCD} = AB \cdot BC = 9 \cdot 3 = 27 \text{ см}^2$$.

Объём пирамиды MABCD равен:

$$V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot MO = \frac{1}{3} \cdot 27 \cdot 3\sqrt{3} = 27\sqrt{3} \text{ см}^3$$.

Ответ: $$27\sqrt{3}$$