Прямая y=2x+1 касается параболы y=x^2+ax+3. Найдите сумму всех возможных значений а.

Решение:

Чтобы прямая \( y = 2x + 1 \) касалась параболы \( y = x^2 + ax + 3 \), их уравнение должно иметь единственное решение. Приравняем уравнения:

\( 2x + 1 = x^2 + ax + 3 \)

Перенесём всё в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\( x^2 + ax - 2x + 3 - 1 = 0 \)

\( x^2 + (a - 2)x + 2 = 0 \)

Для того чтобы уравнение имело единственное решение (то есть прямая касалась параболы), дискриминант \( D \) должен быть равен нулю.

Дискриминант квадратного уравнения \( Ax^2 + Bx + C = 0 \) вычисляется по формуле \( D = B^2 - 4AC \). В нашем случае \( A = 1 \), \( B = a - 2 \), \( C = 2 \).

\( D = (a - 2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 \)

\( D = (a - 2)^2 - 8 \)

Приравниваем дискриминант к нулю:

\( (a - 2)^2 - 8 = 0 \)

\( (a - 2)^2 = 8 \)

Извлекаем квадратный корень из обеих частей:

\( a - 2 = \pm \sqrt{8} \)

\( a - 2 = \pm 2\sqrt{2} \)

Находим возможные значения \( a \):

\( a_1 = 2 + 2\sqrt{2} \)

\( a_2 = 2 - 2\sqrt{2} \)

Задание просит найти сумму всех возможных значений \( a \).

\( a_1 + a_2 = (2 + 2\sqrt{2}) + (2 - 2\sqrt{2}) \)

\( a_1 + a_2 = 2 + 2\sqrt{2} + 2 - 2\sqrt{2} \)

\( a_1 + a_2 = 4 \)

Ответ: 4