Прямая y=2x+1 касается параболы y=x^2+ах+3. Найдите сумму всех возможных значений а.

Решение:

Условие касания прямой и параболы означает, что система уравнений, состоящая из уравнений прямой и параболы, имеет ровно одно решение. Подставим уравнение прямой в уравнение параболы:

\( 2x + 1 = x^2 + ax + 3 \)

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\( x^2 + ax - 2x + 3 - 1 = 0 \)

\( x^2 + (a - 2)x + 2 = 0 \)

Квадратное уравнение имеет ровно одно решение, когда его дискриминант равен нулю.

Дискриминант \( D \) вычисляется по формуле: \( D = b^2 - 4ac \). В нашем случае \( a = 1 \), \( b = a - 2 \), \( c = 2 \).

Приравняем дискриминант к нулю:

\[ D = (a - 2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 0 \]

\[ (a - 2)^2 - 8 = 0 \]

\[ (a - 2)^2 = 8 \]

Извлечём квадратный корень из обеих частей:

\[ a - 2 = \pm\sqrt{8} \]

\[ a - 2 = \pm 2\sqrt{2} \]

Теперь найдём возможные значения \( a \):

\[ a_1 = 2 + 2\sqrt{2} \]

\[ a_2 = 2 - 2\sqrt{2} \]

Задание просит найти сумму всех возможных значений \( a \):

\[ a_1 + a_2 = (2 + 2\sqrt{2}) + (2 - 2\sqrt{2}) = 2 + 2\sqrt{2} + 2 - 2\sqrt{2} = 4 \]

Ответ: 4