Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, AB = 42, AC = 45, MN = 24. Найдите AM.

Решение:

Дано:

Треугольник \( \triangle ABC \).

Прямая \( MN \) параллельна \( AC \) (\( MN \parallel AC \)).

\( M \) лежит на \( AB \), \( N \) лежит на \( BC \).

\( AB = 42 \)

\( AC = 45 \)

\( MN = 24 \)

Найти:

\( AM \)

Пояснение:

Поскольку прямая \( MN \) параллельна стороне \( AC \), то треугольник \( \triangle MBN \) подобен треугольнику \( \triangle ABC \) по двум углам (угол \( B \) — общий, углы \( \angle BMN \) и \( \angle BAC \) — соответственные при параллельных прямых \( MN \parallel AC \) и секущей \( AB \)).

Из подобия треугольников \( \triangle MBN \sim \triangle ABC \) следует соотношение сторон:

\( \frac{MB}{AB} = \frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC} \)

Подставим известные значения:

\( \frac{MB}{42} = \frac{24}{45} \)

Вычислим \( MB \):

\( MB = AB \times \frac{MN}{AC} = 42 \times \frac{24}{45} \)

Упростим дробь \( \frac{24}{45} \) (разделим числитель и знаменатель на 3):

\( \frac{24}{45} = \frac{8}{15} \)

\( MB = 42 \times \frac{8}{15} \)

\( MB = \frac{42 \times 8}{15} \)

\( MB = \frac{336}{15} \)

Разделим \( 336 \) на \( 15 \):

\( 336 \div 15 = 22.4 \)

Итак, \( MB = 22.4 \).

Теперь найдем \( AM \), зная, что \( AM = AB - MB \):

\( AM = 42 - 22.4 \)

\( AM = 19.6 \)

Ответ: 19.6