23. Прямая, параллельная основаниям MP и NK трапеции MNKP, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и пересекает её боковые стороны MN и KP в точках A и B соответственно. Найдите длину отрезка AB, если MP = 28 см, NK = 21 см.

Пусть O - точка пересечения диагоналей трапеции MNKP. Так как прямая AB параллельна основаниям MP и NK, то трапеции ABNK и ABMP подобны. Пусть AB = x. Из подобия трапеций имеем: $$\frac{AB}{MP} = \frac{h_1}{h}$$ и $$\frac{AB}{NK} = \frac{h_2}{h}$$ , где h - высота трапеции MNKP, h1 - высота трапеции ABMP, h2 - высота трапеции ABNK, причем h = h1 + h2. Тогда: $$\frac{x}{28} = \frac{h_1}{h}$$ и $$\frac{x}{21} = \frac{h_2}{h}$$. Сложим эти два уравнения: $$\frac{x}{28} + \frac{x}{21} = \frac{h_1}{h} + \frac{h_2}{h} = \frac{h_1+h_2}{h} = \frac{h}{h} = 1$$ Приведем к общему знаменателю: $$\frac{3x + 4x}{84} = 1$$ $$\frac{7x}{84} = 1$$ $$7x = 84$$ $$x = \frac{84}{7} = 12$$ Следовательно, длина отрезка AB равна 12 см. Ответ: 12 см