168. Прямая АВ проходит через центр О окружности с радиусом ОС; ∠BAC = ∠ABC = 30°. Докажите, что прямая АС – касательная к данной окружности. Доказательство. 1) В треугольнике ВОС ОВ = ОС, поэтому ∠OCB = ∠OBC = 30°. Так как ∠AOC – внешний угол треугольника, то ∠AOC = ∠OBC + ∠OCB = 30° + 30° = 60°. 2) В треугольнике АОС ∠A + ∠AOC = ∠ACO = 90°, т. е. прямая АВ к данной окружности, следовательно, что и требовалось доказать.

Решение: 1) В треугольнике BOC, OB = OC, следовательно, треугольник BOC равнобедренный. \( \angle OCB = \angle OBC = 30^\circ \). Так как \( \angle AOC \) - внешний угол треугольника, то \( \angle AOC = \angle OBC + \angle OCB = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ \). 2) В треугольнике АОС: \( \angle A + \angle AOC = 30^\circ + 60^\circ = 90^\circ = \angle ACO \), т.е. прямая АВ перпендикулярна радиусу к данной окружности, следовательно, АС – касательная, что и требовалось доказать. Ответ: доказано