Прямая АВ- касательная в точке В к окружности с центром О. Отрезок АО пере- секает окружность в точке С; АО = 18 см, ∠BAO = 30°. Найдите длину отрезка ВС. Решение. 1) AB 1 OB в точке В, ОВ - ради- ус). В прямоугольном треугольнике АВO ∠B значит, OB = 0,5 LAOB = = см. ∠30° = go. a

Решение:

1. Прямая AB является касательной к окружности в точке B, следовательно, она перпендикулярна радиусу OB, проведенному в точку касания:

   \[AB \perp OB\]

2. В прямоугольном треугольнике ABO угол ∠B равен 90°.

   \[\angle B = 90^\circ\]

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABO. Синус угла ∠BAO равен отношению противолежащего катета (OB) к гипотенузе (AO):

   \[\sin(\angle BAO) = \frac{OB}{AO}\]

4. Подставим известные значения:

   \[\sin(30^\circ) = \frac{OB}{18}\]

5. Известно, что \(\sin(30^\circ) = 0.5\), тогда:

   \[0.5 = \frac{OB}{18}\]

6. Выразим OB:

   \[OB = 0.5 \cdot 18 = 9\; см\]

7. Угол ∠AOB равен 60°, так как сумма углов в треугольнике равна 180°, а ∠B = 90° и ∠BAO = 30°:

   \[\angle AOB = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\]

8. Так как OC тоже радиус окружности, то OC = OB = 9 см.

9. Рассмотрим треугольник BOC. Он равнобедренный, так как OB = OC (радиусы). Угол ∠BOC равен 180° - ∠AOB = 180° - 60° = 120°.

10. Проведем высоту OH в треугольнике BOC. Она также является медианой и биссектрисой. Значит, ∠BOH = ∠COH = 60° и BH = HC.

11. Рассмотрим прямоугольный треугольник BOH. Синус угла ∠BOH равен отношению противолежащего катета (BH) к гипотенузе (OB):

    \[\sin(\angle BOH) = \frac{BH}{OB}\]

    \[\sin(60^\circ) = \frac{BH}{9}\]

    \[BH = 9 \cdot \sin(60^\circ) = 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]

12. Тогда BC = 2 ⋅ BH:

    \[BC = 2 \cdot 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}\]

Ответ: Длина отрезка BC равна 9\(\sqrt{3}\) см.