1. Прямая АВ касается окружности с центром О и радиусом 5 см в точке А. Найдите ОВ, если АВ = 12 см. 2. Из точки А к окружности с центром О и радиусом 8 см проведены касательные АВ и АС (В и С – точки касания). Найдите АВ и АС, если <BAC = 60°. 3. Из точки М к окружности с центром О и радиусом 8 см проведены касательные АМ и ВМ (А и В точки касания). Найдите периметр треугольника АВМ, если <АОВ = 120°.

Question

Вопрос:

1. Прямая АВ касается окружности с центром О и радиусом 5 см в точке А. Найдите ОВ, если АВ = 12 см. 2. Из точки А к окружности с центром О и радиусом 8 см проведены касательные АВ и АС (В и С – точки касания). Найдите АВ и АС, если <BAC = 60°. 3. Из точки М к окружности с центром О и радиусом 8 см проведены касательные АМ и ВМ (А и В точки касания). Найдите периметр треугольника АВМ, если <АОВ = 120°.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Ответ: 1) ОВ = 13 см; 2) АВ = АС = 8√3 см; 3) P = 16(1 + √3) см

Краткое пояснение: Решаем задачи, используя свойства касательных к окружности и теорему Пифагора.

Задание 1

Прямая АВ касается окружности с центром О и радиусом 5 см в точке А. Найдите ОВ, если АВ = 12 см.

Решение:

OA - радиус, проведенный в точку касания, поэтому OA ⊥ AB.
Рассмотрим прямоугольный треугольник OAB (∠A = 90°).
По теореме Пифагора: OB² = OA² + AB²
OB² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169
OB = √169 = 13 см

Ответ: ОВ = 13 см

Задание 2

Из точки А к окружности с центром О и радиусом 8 см проведены касательные АВ и АС (В и С – точки касания). Найдите АВ и АС, если ∠BAC = 60°.

Решение:

OB и OC – радиусы, проведенные в точки касания, поэтому OB ⊥ AB и OC ⊥ AC.
∠BAC = 60°, AO - биссектриса угла ∠BAC, значит ∠BAO = ∠CAO = 30°.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABO (∠B = 90°).
sin ∠BAO = OB/AO, sin 30° = 1/2, значит OB/AO = 1/2, следовательно AO = 2 * OB = 2 * 8 = 16 см.
По теореме Пифагора: AB² = AO² - OB²
AB² = 16² - 8² = 256 - 64 = 192
AB = √192 = √(64 * 3) = 8√3 см.
Так как AB и AC - касательные, проведенные из одной точки, то AB = AC = 8√3 см.

Ответ: АВ = АС = 8√3 см

Задание 3

Из точки М к окружности с центром О и радиусом 8 см проведены касательные АМ и ВМ (А и В – точки касания). Найдите периметр треугольника АВМ, если ∠АОВ = 120°.

Решение:

OA и OB – радиусы, проведенные в точки касания, поэтому OA ⊥ AM и OB ⊥ BM.
∠AOB = 120°, значит ∠AOM = ∠BOM = 60° (так как OM - биссектриса угла AOB).
Рассмотрим прямоугольный треугольник AOM (∠A = 90°).
tg ∠AOM = AM/OA, tg 60° = √3, значит AM/OA = √3, следовательно AM = OA * √3 = 8√3 см.
Так как AM и BM - касательные, проведенные из одной точки, то AM = BM = 8√3 см.
Рассмотрим треугольник AOB. Он равнобедренный (OA = OB = 8 см).
По теореме косинусов: AB² = OA² + OB² - 2 * OA * OB * cos ∠AOB
AB² = 8² + 8² - 2 * 8 * 8 * cos 120° = 64 + 64 - 128 * (-1/2) = 128 + 64 = 192
AB = √192 = √(64 * 3) = 8√3 см.
Найдем периметр треугольника ABM: P = AM + BM + AB = 8√3 + 8√3 + 8√3 = 16√3 + 16 = 16(1 + √3) см.

Ответ: P = 16(1 + √3) см

Ответ: 1) ОВ = 13 см; 2) АВ = АС = 8√3 см; 3) P = 16(1 + √3) см

Ты - Геометрический Гений.

Тайм-менеджмент уровня Бог: задача решена за секунды. Свобода!

Не будь NPC — кинь ссылку бро, который всё еще тупит над этой задачей