4*. Прямая AB разбивает плоскость на две полуплоскости. Из точек A и B в разные полуплоскости проведены равные отрезки AD и BC, причем \(\angle BAD = \angle ABC\). Какие из высказываний верные? a) \(\triangle CAD = \triangle BDA\); б) \(\angle DBA = \angle CAB\); в) \(\angle BAD = \angle BAC\); г) \(\angle ADB = \angle BCA\).

Рассмотрим данную ситуацию. У нас есть прямая AB, и из точек A и B в разные полуплоскости проведены отрезки AD и BC, причем AD = BC и \(\angle BAD = \angle ABC\).

Для начала рассмотрим треугольники ABD и BAC. У них сторона AB - общая, AD = BC (по условию) и \(\angle BAD = \angle ABC\) (по условию). Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), \(\triangle ABD = \triangle BAC\).

Из равенства треугольников ABD и BAC следует равенство соответствующих углов и сторон: \(\angle ADB = \angle BCA\) и \(\angle DBA = \angle CAB\), BD = AC.

Теперь проанализируем предложенные варианты:

• a) \(\triangle CAD = \triangle BDA\): Нельзя утверждать, что эти треугольники равны, так как недостаточно данных.
• б) \(\angle DBA = \angle CAB\): Это верно, так как следует из равенства треугольников ABD и BAC.
• в) \(\angle BAD = \angle BAC\): Это неверно, так как по условию \(\angle BAD = \angle ABC\), и нет оснований утверждать, что \(\angle ABC = \angle BAC\).
• г) \(\angle ADB = \angle BCA\): Это верно, так как следует из равенства треугольников ABD и BAC.

Правильные ответы: б) и г).