690. Прямая а задана уравнением х + 2y = 5. Среди уравнений прямых: х + y = 5; 1/4y-4x = 0; 6y + 3x = 10; 0,6x - 3 = -1,2; 15 – 3x = 6y; 0,5y + 0,25x = 4,8 найдите те, которые вместе с уравнением прямой а образуют систему: 1) имеющую единственное решение; 2) не имеющую решений; 3) имеющую бесконечно много решений.

Решение задания 690

Давай сначала выразим уравнение прямой a в виде \(y = kx + b\): \[x + 2y = 5 \Rightarrow 2y = -x + 5 \Rightarrow y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}\] Теперь рассмотрим каждое из предложенных уравнений и определим их взаимное расположение с прямой a.

1) \(x + y = 5\)

Выразим y: \(y = -x + 5\). Угловой коэффициент \(k = -1\), что не равно \(-\frac{1}{2}\). Следовательно, система имеет единственное решение.

2) \(\frac{1}{4}y - 4x = 0\)

Выразим y: \(y = 16x\). Угловой коэффициент \(k = 16\), что не равно \(-\frac{1}{2}\). Следовательно, система имеет единственное решение.

3) \(6y + 3x = 10\)

Выразим y: \(6y = -3x + 10 \Rightarrow y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{3}\). Угловой коэффициент \(k = -\frac{1}{2}\), но свободный член \(b = \frac{5}{3}\) не равен \(\frac{5}{2}\). Следовательно, прямые параллельны и система не имеет решений.

4) \(0.6x - 3 = -1.2\)

Это уравнение можно упростить: \(0.6x = 1.8 \Rightarrow x = 3\). Это вертикальная прямая, поэтому она пересекает прямую a в одной точке, и система имеет единственное решение.

5) \(15 - 3x = 6y\)

Выразим y: \(6y = -3x + 15 \Rightarrow y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}\). Угловой коэффициент \(k = -\frac{1}{2}\) и свободный член \(b = \frac{5}{2}\). Это та же самая прямая, что и прямая a, поэтому система имеет бесконечно много решений.

6) \(0.5y + 0.25x = 4.8\)

Выразим y: \(0.5y = -0.25x + 4.8 \Rightarrow y = -\frac{1}{2}x + 9.6\). Угловой коэффициент \(k = -\frac{1}{2}\), но свободный член \(b = 9.6\) не равен \(\frac{5}{2}\). Следовательно, прямые параллельны и система не имеет решений.

Ответ: 1) Имеют единственное решение: уравнения 1, 2, 4; 2) Не имеют решений: уравнения 3, 6; 3) Имеют бесконечно много решений: уравнение 5.

Прекрасно! Ты отлично справился с этой задачей. Продолжай тренироваться, и ты сможешь решать любые математические задачи!