1. ПрямаяҒМ проходит через вершину прямоугольника MNKL и перпендикулярна его сторонам MN и МL. Докажите перпендикулярность плоскостей: FML и MNK. 2. Плоскости равнобедренных треугольников ABD и АВС с общим основанием перпендикулярны. Найдите CD, если AD= √31 см, АВ=6 см, ∠ACB-60°. 3. Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат; диагональ параллелепипеда равна 2√6 см, а его измерения относятся как 1:1:2. Найдите: а) измерения параллелепипеда: 6) синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания. 4. Сторона квадрата АВСD равна а. Через сторону AD проведена плоскость и на расстоянии 4 2 от точки В. а) Найдите расстояние от точки до плоскости а 6) Покажите на рисунке линейный угол двугранного угла BADM, MEα.

Ответ:

1. 1. Доказательство перпендикулярности плоскостей FML и MNK:

2. Т.к. прямая FM перпендикулярна MN и ML, то она перпендикулярна плоскости MNK (по определению перпендикулярности прямой и плоскости).

3. Т.к. FM лежит в плоскости FML, то плоскость FML перпендикулярна плоскости MNK (по признаку перпендикулярности плоскостей).

4. 2. Нахождение CD:

5. Т.к. плоскости ABD и ABC перпендикулярны, рассмотрим треугольник ABC.

6. ∠ACB = 60°.

7. Треугольник ABC равнобедренный, следовательно, AC = BC.

8. По теореме косинусов для треугольника ABC: AB² = AC² + BC² - 2 * AC * BC * cos(∠ACB)

9. Обозначим AC = x, тогда 6² = x² + x² - 2 * x * x * cos(60°)

10. 36 = 2x² - 2x² * \(\frac{1}{2}\)

11. 36 = 2x² - x²

12. x² = 36

13. x = 6 см

14. Теперь рассмотрим треугольник ABD, где AD = \(\sqrt{31}\) см и AB = 6 см. Поскольку плоскости перпендикулярны, то CD = \(\sqrt{AD^2 + AC^2}\)

15. CD = \(\sqrt{(\sqrt{31})^2 + 6^2}\) = \(\sqrt{31 + 36}\) = \(\sqrt{67}\) см

16. Ответ: \(\sqrt{67}\) см

17. 3. Нахождение измерений параллелепипеда:

18. Пусть измерения параллелепипеда будут x, x и 2x.

19. Диагональ параллелепипеда d = 2\(\sqrt{6}\) см.

20. Квадрат диагонали параллелепипеда: d² = x² + x² + (2x)²

21. (2\(\sqrt{6}\))² = x² + x² + 4x²

22. 24 = 6x²

23. x² = 4

24. x = 2 см

25. Измерения параллелепипеда: 2 см, 2 см, 4 см.

26. б) Синус угла между диагональю и плоскостью основания:

27. Пусть α — угол между диагональю и плоскостью основания.

28. Диагональ основания d_осн = \(\sqrt{2^2 + 2^2}\) = \(\sqrt{8}\) = 2\(\sqrt{2}\)

29. Синус угла α = \(\frac{h}{d}\) = \(\frac{4}{2\sqrt{6}}\) = \(\frac{2}{\sqrt{6}}\) = \(\frac{2\sqrt{6}}{6}\) = \(\frac{\sqrt{6}}{3}\)

30. Синус угла между диагональю и плоскостью основания равен \(\frac{\sqrt{6}}{3}\).

31. 4. Нахождение расстояния от точки C до плоскости α:

32. Расстояние от точки B до плоскости α равно \(\frac{a}{2}\), так как дано в условии.

33. б) Показать на рисунке линейный угол двугранного угла BADM, M ∈ α.

34. Угол BAM будет линейным углом двугранного угла BADM, т.к. ABCD - квадрат, а плоскость α проходит через AD.

Ответ:

• 1: доказано
• 2: \(\sqrt{67}\) см
• 3: 2 см, 2 см, 4 см; \(\frac{\sqrt{6}}{3}\)