1. Проводится серия из 6 независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха р=.\frac{1}{3}. Найдите вероятность элементарного события, в котором наступает сначала 2 успеха, а затем 4 неудачи. 2. Сколько элементарных событий с 4 успехами возможно в серии из 10 испытаний Бернулли? 3. Найдите вероятность выбросить ровно 6 орлов, 10 раз бросив монету. 4. Стрелок стреляет в мишень. Вероятность попадания равна 0,4. Найдите вероятность того, что, сделав 5 выстрелов, стрелок попадет в мишень не менее 2 раз. 1. Проводится серия из 6 независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха р=\frac{1}{4}. Найдите вероятность элементарного события, в котором наступает сначала 2 успеха, а затем - 4 неудачи. 2. Сколько элементарных событий с 3 успехами возможно в серии из 9 испытаний Бернулли? 3. Найдите вероятность выбросить ровно 7 орлов, 12 раз бросив монету. 4. Стрелок стреляет в мишень. Вероятность попадания равна 0,6. Найдите вероятность того, что, сделав 6 выстрелов, стрелок попадет в мишень не менее 2 раз.

1. Рассмотрим серию из 6 независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха $$p = \frac{1}{3}$$. Необходимо найти вероятность элементарного события, в котором сначала наступает 2 успеха, а затем 4 неудачи.

Вероятность успеха (S) равна $$p = \frac{1}{3}$$, следовательно, вероятность неудачи (F) равна $$q = 1 - p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$.

Нам нужна последовательность SSFFFF.

Вероятность этой последовательности равна $$P = p \cdot p \cdot q \cdot q \cdot q \cdot q = p^2 \cdot q^4 = (\frac{1}{3})^2 \cdot (\frac{2}{3})^4 = \frac{1}{9} \cdot \frac{16}{81} = \frac{16}{729}$$.

Ответ: $$\frac{16}{729}$$

2. Сколько элементарных событий с 4 успехами возможно в серии из 10 испытаний Бернулли?

Это задача на сочетания. Нам нужно выбрать 4 места для успехов из 10 возможных мест. Количество таких комбинаций равно числу сочетаний из 10 по 4, что обозначается как $$C_{10}^4$$.

$$C_{10}^4 = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 7 = 210$$

Ответ: 210

3. Найдите вероятность выбросить ровно 6 орлов, 10 раз бросив монету.

Это задача на схему Бернулли. Вероятность успеха (выпадения орла) $$p = 0.5$$, вероятность неудачи (выпадения решки) $$q = 0.5$$. Нам нужно найти вероятность получить ровно 6 успехов в 10 испытаниях.

$$P(X=6) = C_{10}^6 \cdot p^6 \cdot q^4 = \frac{10!}{6!4!} \cdot (0.5)^6 \cdot (0.5)^4 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot (0.5)^{10} = 210 \cdot (0.5)^{10} = 210 \cdot \frac{1}{1024} = \frac{210}{1024} = \frac{105}{512} \approx 0.2051$$

Ответ: $$\frac{105}{512}$$

4. Стрелок стреляет в мишень. Вероятность попадания равна 0,4. Найдите вероятность того, что, сделав 5 выстрелов, стрелок попадет в мишень не менее 2 раз.

Вероятность попадания $$p = 0.4$$, вероятность промаха $$q = 1 - p = 0.6$$. Нам нужно найти вероятность, что стрелок попадет не менее 2 раз, то есть 2, 3, 4 или 5 раз.

$$P(X \geq 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1)]$$

$$P(X=0) = C_5^0 \cdot (0.4)^0 \cdot (0.6)^5 = 1 \cdot 1 \cdot (0.6)^5 = 0.07776$$

$$P(X=1) = C_5^1 \cdot (0.4)^1 \cdot (0.6)^4 = 5 \cdot 0.4 \cdot (0.6)^4 = 5 \cdot 0.4 \cdot 0.1296 = 2 \cdot 0.1296 = 0.2592$$

$$P(X \geq 2) = 1 - (0.07776 + 0.2592) = 1 - 0.33696 = 0.66304$$

Ответ: 0.66304

1. Рассмотрим серию из 6 независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха $$p = \frac{1}{4}$$. Необходимо найти вероятность элементарного события, в котором сначала наступает 2 успеха, а затем 4 неудачи.

Вероятность успеха (S) равна $$p = \frac{1}{4}$$, следовательно, вероятность неудачи (F) равна $$q = 1 - p = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$.

Нам нужна последовательность SSFFFF.

Вероятность этой последовательности равна $$P = p \cdot p \cdot q \cdot q \cdot q \cdot q = p^2 \cdot q^4 = (\frac{1}{4})^2 \cdot (\frac{3}{4})^4 = \frac{1}{16} \cdot \frac{81}{256} = \frac{81}{4096}$$.

Ответ: $$\frac{81}{4096}$$

2. Сколько элементарных событий с 3 успехами возможно в серии из 9 испытаний Бернулли?

Это задача на сочетания. Нам нужно выбрать 3 места для успехов из 9 возможных мест. Количество таких комбинаций равно числу сочетаний из 9 по 3, что обозначается как $$C_{9}^3$$.

$$C_{9}^3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 3 \cdot 4 \cdot 7 = 84$$

Ответ: 84

3. Найдите вероятность выбросить ровно 7 орлов, 12 раз бросив монету.

Это задача на схему Бернулли. Вероятность успеха (выпадения орла) $$p = 0.5$$, вероятность неудачи (выпадения решки) $$q = 0.5$$. Нам нужно найти вероятность получить ровно 7 успехов в 12 испытаниях.

$$P(X=7) = C_{12}^7 \cdot p^7 \cdot q^5 = \frac{12!}{7!5!} \cdot (0.5)^7 \cdot (0.5)^5 = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot (0.5)^{12} = 792 \cdot (0.5)^{12} = 792 \cdot \frac{1}{4096} = \frac{792}{4096} = \frac{99}{512} \approx 0.1934$$

Ответ: $$\frac{99}{512}$$

4. Стрелок стреляет в мишень. Вероятность попадания равна 0,6. Найдите вероятность того, что, сделав 6 выстрелов, стрелок попадет в мишень не менее 2 раз.

Вероятность попадания $$p = 0.6$$, вероятность промаха $$q = 1 - p = 0.4$$. Нам нужно найти вероятность, что стрелок попадет не менее 2 раз, то есть 2, 3, 4, 5 или 6 раз.

$$P(X \geq 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1)]$$

$$P(X=0) = C_6^0 \cdot (0.6)^0 \cdot (0.4)^6 = 1 \cdot 1 \cdot (0.4)^6 = 0.004096$$

$$P(X=1) = C_6^1 \cdot (0.6)^1 \cdot (0.4)^5 = 6 \cdot 0.6 \cdot (0.4)^5 = 6 \cdot 0.6 \cdot 0.01024 = 3.6 \cdot 0.01024 = 0.036864$$

$$P(X \geq 2) = 1 - (0.004096 + 0.036864) = 1 - 0.04096 - 0.036864 = 1 - 0.04096 = 0.95904$$

$$P(X \geq 2) = 1 - (0.004096 + 0.036864) = 1 - 0.04096 - 0.036864 = 1 - 0.04096 = 0.95904$$

$$P(X \geq 2) = 1 - (0.004096 + 0.036864) = 1 - 0.04096 - 0.036864 = 1 - 0.04096 = 0.95904$$

Ответ: 0.95904