5.476 Проверьте равенства: \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}), \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{7} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{5} - \frac{1}{7}), \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{7} - \frac{1}{9}) и т. д. Используя эти равенства, докажите: \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{7} + \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{9} + \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{11} + \frac{1}{11} \cdot \frac{1}{13} + \frac{1}{13} \cdot \frac{1}{15} = \frac{2}{15}.

Прежде чем доказывать равенство, проверим данные равенства:

1. $$ \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) $$

   Преобразуем правую часть:

   $$ \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{5}{15} - \frac{3}{15}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{15} = \frac{1}{15} $$

   Преобразуем левую часть:

   $$ \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{15} $$

   Следовательно, равенство верно.

2. $$ \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{7} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{5} - \frac{1}{7}) $$

   Преобразуем правую часть:

   $$ \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{5} - \frac{1}{7}) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{7}{35} - \frac{5}{35}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{35} = \frac{1}{35} $$

   Преобразуем левую часть:

   $$ \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{7} = \frac{1}{35} $$

   Следовательно, равенство верно.

3. $$ \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{7} - \frac{1}{9}) $$

   Преобразуем правую часть:

   $$ \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{7} - \frac{1}{9}) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{9}{63} - \frac{7}{63}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{63} = \frac{1}{63} $$

   Преобразуем левую часть:

   $$ \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{63} $$

   Следовательно, равенство верно.

Теперь докажем, используя данные равенства, что

$$ \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{7} + \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{9} + \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{11} + \frac{1}{11} \cdot \frac{1}{13} + \frac{1}{13} \cdot \frac{1}{15} = \frac{2}{15} $$

Заменим каждое слагаемое левой части, используя равенства из условия:

$$ \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{5} - \frac{1}{7}) + \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{7} - \frac{1}{9}) + \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{9} - \frac{1}{11}) + \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{11} - \frac{1}{13}) + \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{13} - \frac{1}{15}) = $$ $$ = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{7} - \frac{1}{9} + \frac{1}{9} - \frac{1}{11} + \frac{1}{11} - \frac{1}{13} + \frac{1}{13} - \frac{1}{15}) = $$ $$ = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{3} - \frac{1}{15}) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{5}{15} - \frac{1}{15}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{15} = \frac{2}{15} $$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.