Проведите полное исследование функции y = x^4 - 2x^2 и постройте эскиз графика.

Исследование функции \( y = x^4 - 2x^2 \):

1. Область определения: Функция определена для всех действительных чисел \( x \in \mathbb{R} \).
2. Чётность/Нечётность: \( y(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 = x^4 - 2x^2 = y(x) \). Функция чётная, её график симметричен относительно оси ординат.
3. Точки пересечения с осями:
   - С осью Ox: \( y = 0 \) \( \implies x^4 - 2x^2 = 0 \) \( \implies x^2(x^2 - 2) = 0 \) \( \implies x^2 = 0 \) или \( x^2 = 2 \) \( \implies x = 0 \) или \( x = \pm \sqrt{2} \). Точки пересечения: \( (-\sqrt{2}, 0), (0, 0), (\sqrt{2}, 0) \).
   - С осью Oy: \( x = 0 \) \( \implies y = 0^4 - 2(0)^2 = 0 \). Точка пересечения: \( (0, 0) \).
4. Производная и экстремумы:
   - Первая производная: \( y' = (x^4 - 2x^2)' = 4x^3 - 4x \).
   - Критические точки: \( y' = 0 \) \( \implies 4x^3 - 4x = 0 \) \( \implies 4x(x^2 - 1) = 0 \) \( \implies x = 0 \) или \( x^2 = 1 \) \( \implies x = 0, x = -1, x = 1 \).
   - Исследование знака производной:
   - При \( x < -1 \), например \( x = -2 \): \( y' = 4(-2)((-2)^2 - 1) = -8(3) = -24 < 0 \) (убывание).
   - При \( -1 < x < 0 \), например \( x = -0.5 \): \( y' = 4(-0.5)((-0.5)^2 - 1) = -2(0.25 - 1) = -2(-0.75) = 1.5 > 0 \) (возрастание).
   - При \( 0 < x < 1 \), например \( x = 0.5 \): \( y' = 4(0.5)((0.5)^2 - 1) = 2(0.25 - 1) = 2(-0.75) = -1.5 < 0 \) (убывание).
   - При \( x > 1 \), например \( x = 2 \): \( y' = 4(2)(2^2 - 1) = 8(3) = 24 > 0 \) (возрастание).
   - Экстремумы:
   - \( x = -1 \): минимум, \( y(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 = 1 - 2 = -1 \). Точка минимума \( (-1, -1) \).
   - \( x = 0 \): максимум, \( y(0) = 0 \). Точка максимума \( (0, 0) \).
   - \( x = 1 \): минимум, \( y(1) = 1^4 - 2(1)^2 = 1 - 2 = -1 \). Точка минимума \( (1, -1) \).
5. Вторая производная и точки перегиба:
   - Вторая производная: \( y'' = (4x^3 - 4x)' = 12x^2 - 4 \).
   - Точки перегиба: \( y'' = 0 \) \( \implies 12x^2 - 4 = 0 \) \( \implies 12x^2 = 4 \) \( \implies x^2 = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \) \( \implies x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \) (или \( \pm \frac{\sqrt{3}}{3} \)).
   - Значение функции в точках перегиба:
   \( y(\pm \frac{1}{\sqrt{3}}) = (\frac{1}{\sqrt{3}})^4 - 2(\frac{1}{\sqrt{3}})^2 = \frac{1}{9} - 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9} - \frac{2}{3} = \frac{1 - 6}{9} = -\frac{5}{9} \).
   - Точки перегиба: \( (-\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{5}{9}) \) и \( (\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{5}{9}) \).
6. Асимптоты: Вертикальных и наклонных асимптот нет, так как функция определена на всей числовой оси и является многочленом.

Эскиз графика:

Ответ: График функции имеет вид, симметричный относительно оси Oy, с двумя минимумами в точках \( (\pm 1, -1) \) и одним максимумом в точке \( (0, 0) \). Функция пересекает ось Ox в точках \( (0, 0), (\pm \sqrt{2}, 0) \).