Прототип 15: Треугольник и его элементы. III Треугольник равносторонний. 13. (*) Высота равностороннего треугольника равна 10. Найдите его площадь, делённую на \frac{\sqrt{3}}{3} 14. (*) Периметр равностороннего треугольника равен 30. Найдите его площадь, делённую на \sqrt{3}.

Привет! Давай разберемся с этими задачами по геометрии.

Задача 13

Дано:

• Равносторонний треугольник.
• Высота (h) = 10.

Найти: Площадь (S), делённую на \( \frac{\sqrt{3}}{3} \).

Решение:

1. Формула высоты равностороннего треугольника: \( h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \), где \( a \) — сторона треугольника.
2. Находим сторону (a): Из формулы высоты выразим сторону: \( a = \frac{2h}{\sqrt{3}} \). Подставляем значение высоты: \( a = \frac{2 \cdot 10}{\sqrt{3}} = \frac{20}{\sqrt{3}} \).
3. Формула площади равностороннего треугольника: \( S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \).
4. Находим площадь (S): Подставляем найденное значение стороны \( a \):
   \( S = \frac{(\frac{20}{\sqrt{3}})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{\frac{400}{3} \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{400\sqrt{3}}{12} = \frac{100\sqrt{3}}{3} \).
5. Делим площадь на \( \frac{\sqrt{3}}{3} \):
   \( \frac{S}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\frac{100\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}} \).
   При делении дробей, вторую дробь переворачиваем и умножаем:
   \( \frac{100\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}} = 100 \).

Ответ: 100

Задача 14

Дано:

• Равносторонний треугольник.
• Периметр (P) = 30.

Найти: Площадь (S), делённую на \( \sqrt{3} \).

Решение:

1. Находим сторону (a): Периметр равностороннего треугольника \( P = 3a \).
   \( 3a = 30 \)
   \( a = \frac{30}{3} = 10 \).
2. Формула площади равностороннего треугольника: \( S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \).
3. Находим площадь (S): Подставляем значение стороны \( a = 10 \):
   \( S = \frac{10^2\sqrt{3}}{4} = \frac{100\sqrt{3}}{4} = 25\sqrt{3} \).
4. Делим площадь на \( \sqrt{3} \):
   \( \frac{S}{\sqrt{3}} = \frac{25\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 25 \).

Ответ: 25