Промежуточная аттестация по курсу «Геометрия» в 7 классе Вариант 1. № 1. Сумма двух углов, полученных при пересечении двух прямых, равна 90°. Найдите один из двух других углов. № 2. Периметр равнобедренного треугольника равен 19 см. Боковая сторона равна 5 см. Найдите длину основания. № 3. В треугольнике АВС на стороне АВ отмечена точка М, а на стороне ВС точка К. так, что МК параллельна АС. АК биссектриса угла МАС. Найдите угол МКА, если угол MAC равен 80°. № 4. В треугольнике АВС на стороне АС отмечена точка D, такая, что AB-BD-DC. DF медиана треугольника ВОС. Найдите угол ВАС, если угол FDC равен 65°, № 5. Треугольник АСВ прямоугольный (угол С = 90°). CD высота. Найдите гипотенузу АВ, если угол СВА равен 30°, AD-4 см.

Решение №1:

Когда две прямые пересекаются, образуются 4 угла. Противоположные углы равны, а сумма смежных углов равна 180°. Если сумма двух смежных углов равна 90°, то это означает, что прямые перпендикулярны, и все 4 образованных угла равны 90°.

Ответ: 90°.

Решение №2:

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. В равнобедренном треугольнике две стороны равны (боковые), а одна отличается (основание).

1. Дано: Периметр (P) = 19 см, Боковая сторона (b) = 5 см.
2. Найти: Основание (a).
3. Формула: P = 2b + a
4. Подставляем значения: 19 = 2 * 5 + a
5. Решаем: 19 = 10 + a => a = 19 - 10 = 9 см.

Ответ: 9 см.

Решение №3:

Дано:

• Треугольник ABC.
• M на AB, K на BC.
• MK || AC.
• AK — биссектриса угла MAC.
• Угол MAC = 80°.

Найти: Угол MKA.

Решение:

1. Угол MAK: Так как AK — биссектриса угла MAC, она делит его пополам: Угол MAK = Угол MAC / 2 = 80° / 2 = 40°.
2. Угол AKM: Так как MK || AC, то угол AKM и угол KAC являются накрест лежащими углами при секущей AK. Значит, Угол AKM = Угол KAC.
3. Угол KAC: Мы знаем, что Угол MAK = 40°. Угол KAC = Угол MAC - Угол MAK = 80° - 40° = 40°.
4. Значит, Угол AKM = 40°.
5. Угол MKA: Угол MKA — это внешний угол треугольника AKC. Также, поскольку MK || AC, то угол MKB равен углу ACB (соответственные углы). В треугольнике MKB, сумма углов равна 180°.
6. Но проще найти угол MKA как часть угла AKC. Угол AKM = 40°. В треугольнике AMK, угол AMK + угол MAK + угол AKA = 180°. Угол AMK = 180 - Угол BAC.
7. Рассмотрим треугольник AMK. У нас есть Угол MAK = 40°.
8. Рассмотрим треугольник AKC. Угол KAC = 40°.
9. Важно: Угол MKA является частью угла AKC.
10. Поскольку MK || AC, то угол MKA и угол KAC являются накрест лежащими, если секущая AK. Нет, это не так. MK || AC, AK — секущая. Тогда угол MKA и угол KAC являются накрест лежащими. НО! AK — биссектриса угла MAC, поэтому Угол MAK = Угол KAC = 40°.
11. Следовательно, Угол MKA = Угол KAC = 40°.

Ответ: 40°.

Решение №4:

Дано:

• Треугольник ABC.
• D на AC.
• AB = BD = DC.
• DF — медиана треугольника BDC (F — середина BC).
• Угол FDC = 65°.

Найти: Угол BAC.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник ABD: Так как AB = BD, то треугольник ABD равнобедренный. Углы при основании равны: Угол BAD = Угол BDA.
2. Угол ADB: Угол ADB является смежным углом к углу BDC. Угол ADB + Угол BDC = 180°.
3. Рассмотрим треугольник BDC: DF — медиана, значит, F — середина BC.
4. В треугольнике BDC: Угол BDC + Угол DCF + Угол CBD = 180°.
5. Угол FDC = 65°. Это часть угла BDC.
6. Рассмотрим треугольник BDF:
7. Рассмотрим треугольник CDF:
8. В треугольнике BDC, DF — медиана.
9. Угол BDC: Поскольку AB = BD = DC, то точка D делит сторону AC на три равных отрезка (AB, BD, DC). Это неверно. AB = BD, и BD = DC.
10. Рассмотрим треугольник BDC. DF — медиана. Угол FDC = 65°.
11. Так как BD = DC, то треугольник BDC равнобедренный. Углы при основании равны: Угол DBC = Угол DCB.
12. В треугольнике BDC: Угол BDC + Угол DBC + Угол DCB = 180°.
13. Угол BDC: Угол BDC = 180° - Угол DBC - Угол DCB = 180° - 2 * Угол DBC.
14. Рассмотрим треугольник BDF.
15. В треугольнике CDF: Угол DFC = 180° - Угол FDC - Угол DCF = 180° - 65° - Угол DCB.
16. Так как F — середина BC, и BD = DC, то DF — медиана в равнобедренном треугольнике BDC.
17. В равнобедренном треугольнике BDC (BD=DC), медиана, проведенная к основанию BC, является также высотой и биссектрисой. Но DF — медиана к BC, а основание — BC. BD=DC.
18. Значит, DF является высотой, если угол BDC = 90°.
19. Рассмотрим треугольник BDF и CDF. BF = FC.
20. Угол BDC: В треугольнике BDC, DF — медиана.
21. Угол FDC = 65°.
22. Рассмотрим треугольник BDC. Поскольку BD = DC, то углы при основании BC равны: Угол DBC = Угол DCB.
23. В треугольнике CDF: Угол CFD = 180° - Угол FDC - Угол DCF = 180° - 65° - Угол DCB.
24. Угол BDF: Угол BDF = Угол BDC - Угол FDC.
25. В треугольнике BDF: Угол BFD = 180° - Угол CFD.
26. Если DF — медиана, то BF = FC.
27. Так как BD = DC, треугольник BDC равнобедренный.
28. Рассмотрим треугольник BDF: Угол BFD — внешний угол треугольника CDF.
29. В треугольнике CDF: Угол DFC = 180° - 65° - Угол DCB.
30. В треугольнике BDF: Угол BFD = 180° - Угол CFD.
31. Угол CFD + Угол DFC = 180°.
32. Угол BFD = Угол DFC.
33. Рассмотрим треугольник CDF. Угол CFD = 180 - (180 - 65 - Угол DCB) = 65 + Угол DCB.
34. В треугольнике BDC: Угол BDC + 2 * Угол DCB = 180°.
35. Угол BDC = 180° - 2 * Угол DCB.
36. В треугольнике BDF: Угол BFD = 180° - Угол DBC - Угол BDF.
37. Угол BFD = 180° - Угол DBC - (Угол BDC - 65°).
38. Так как BF = FC, и BD = DC, то DF — медиана.
39. В треугольнике BDC, так как BD = DC, то Угол DBC = Угол DCB.
40. В треугольнике CDF, Угол DFC = 180° - 65° - Угол DCB.
41. Угол CFD = 180° - Угол DFC = 65° + Угол DCB.
42. Угол BDF: Пусть Угол BAC = X. Тогда Угол BAD = X. Угол BDA = X.
43. Угол BDC = 180° - X.
44. В треугольнике BDC: Угол BDC + 2 * Угол DCB = 180°.
45. 180° - X + 2 * Угол DCB = 180°. => 2 * Угол DCB = X => Угол DCB = X/2.
46. Значит, Угол DBC = Угол DCB = X/2.
47. Теперь вернемся к треугольнику CDF. Угол DFC = 180° - 65° - X/2.
48. Угол CFD = 180° - (180° - 65° - X/2) = 65° + X/2.
49. Угол BDF = Угол BDC - Угол FDC = (180° - X) - 65° = 115° - X.
50. В треугольнике BDF: Угол BFD = 180° - Угол DBC - Угол BDF = 180° - X/2 - (115° - X) = 180° - X/2 - 115° + X = 65° + X/2.
51. Мы получили, что Угол CFD = 65° + X/2 и Угол BFD = 65° + X/2. Это подтверждает, что DF — медиана.
52. Нам нужно найти X (Угол BAC).
53. Рассмотрим треугольник ABD. Угол BAD = X, Угол ABD = ?, Угол BDA = X.
54. Угол ABD + Угол BDA + Угол BAD = 180°. Угол ABD + X + X = 180°. Угол ABD = 180° - 2X.
55. Угол BDC = 180° - Угол BDA = 180° - X.
56. В треугольнике BDC: Угол DBC + Угол DCB + Угол BDC = 180°.
57. Угол DBC = Угол DCB = X/2.
58. Угол BDC = 180° - X.
59. Угол FDC = 65°.
60. В треугольнике CDF: Угол CFD = 180° - Угол FDC - Угол DCF = 180° - 65° - X/2.
61. Угол DFC = 115° - X/2.
62. Угол BFD = 180° - Угол DFC = 180° - (115° - X/2) = 65° + X/2.
63. В треугольнике BDF: Угол BFD = 180° - Угол FBD - Угол BDF.
64. Угол FBD = Угол ABD - Угол DBC = (180° - 2X) - X/2 = 180° - 2.5X.
65. 65° + X/2 = 180° - (180° - 2.5X) - (115° - X).
66. 65° + X/2 = 180° - 180° + 2.5X - 115° + X.
67. 65° + 0.5X = 3.5X - 115°.
68. 65° + 115° = 3.5X - 0.5X.
69. 180° = 3X.
70. X = 180° / 3 = 60°.

Ответ: 60°.

Решение №5:

Дано:

• Прямоугольный треугольник ACB, Угол C = 90°.
• CD — высота.
• Угол CBA = 30°.
• AD = 4 см.

Найти: Гипотенузу AB.

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике ABC: Сумма острых углов равна 90°. Угол BAC = 90° - Угол CBA = 90° - 30° = 60°.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC: Угол ADC = 90° (так как CD — высота). Угол CAD = Угол BAC = 60°.
3. В треугольнике ADC: Угол ACD = 90° - Угол CAD = 90° - 60° = 30°.
4. В прямоугольном треугольнике ADC: Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Гипотенуза в треугольнике ADC — это AC. Катет, противолежащий углу ACD (30°), — это AD.
5. Значит, AD = AC / 2.
6. Мы знаем, что AD = 4 см. => 4 = AC / 2 => AC = 4 * 2 = 8 см.
7. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABC: У нас есть катет AC = 8 см, и Угол CBA = 30°.
8. В прямоугольном треугольнике ABC: Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Катет, противолежащий углу CBA (30°), — это AC. Гипотенуза — это AB.
9. Значит, AC = AB / 2.
10. Подставляем значение AC: 8 = AB / 2.
11. Решаем: AB = 8 * 2 = 16 см.

Ответ: 16 см.