6. Произведение двух последовательных натуральных чисел на 63 больше утроенного меньшего числа. Найдите эти числа.

Пусть первое число будет \(n\), тогда следующее за ним число будет \(n+1\). Согласно условию задачи, произведение этих двух чисел на 63 больше утроенного меньшего числа. Запишем уравнение:

\[n(n+1) = 3n + 63\]

Раскрываем скобки и упрощаем уравнение:

\[n^2 + n = 3n + 63\]

Переносим все члены в левую часть уравнения:

\[n^2 + n - 3n - 63 = 0\]

\[n^2 - 2n - 63 = 0\]

Решим квадратное уравнение \(n^2 - 2n - 63 = 0\). Для этого найдем дискриминант:

\[D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-63) = 4 + 252 = 256\]

Теперь найдем корни уравнения:

\[n = \frac{-(-2) \pm \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 16}{2}\]

Получаем два возможных значения для \(n\):

\[n_1 = \frac{2 + 16}{2} = \frac{18}{2} = 9\]

\[n_2 = \frac{2 - 16}{2} = \frac{-14}{2} = -7\]

Так как числа должны быть натуральными, значение \(n = -7\) не подходит. Значит, \(n = 9\) является первым числом, а следующее за ним число равно \(n + 1 = 9 + 1 = 10\).

Проверим условие задачи:

\[9 \cdot 10 = 90\]

\[3 \cdot 9 + 63 = 27 + 63 = 90\]

Условие выполняется.