Разберем каждое из предложенных утверждений:
1) помним начало (предложение 1): В предложении «Все мы помним знаменитое начало баллады А. С. Пушкина «Песнь о вещем Олеге»» грамматическая основа: «мы помним», а «начало» является дополнением. Следовательно, утверждение 1 неверно.
2) назван (предложение 2): В предложении «Остаётся только загадкой, почему князь назван «вещим»» грамматическая основа «князь назван». Следовательно, утверждение 2 верно.
3) указано (предложение 3): В предложении «В толковом словаре С. И. Ожегова указано, что вещий – это предвидящий будущее, пророческий» грамматическая основа «указано». Следовательно, утверждение 3 верно.
4) слово было (предложение 4): В предложении «Однако важно знать, что в древнерусском языке слово «вещий» было и синонимом слова «мудрый»» грамматическая основа «слово было». Следовательно, утверждение 4 верно.
5) которое (не) было связано (предложение 5): В предложении «Поэт, употребляя слово, которое уже в пушкинские времена не было напрямую связано с мудростью, создавал в повествовании особый исторический колорит» грамматическая основа «которое не было связано». Следовательно, утверждение 5 верно.
Таким образом, правильные ответы: 2, 3, 4, 5.
Ответ: 2345