Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
Пример: Составить интерполяционный многочлен Лагранжа для функции, заданной таблицей. X 1 2 3 4 y 2 3 4 5 Решение: • Подставим найденные значения в формулу многочлена Лагранжа: f(x) = -2 (x-1)(x-2)(x-3)(x-4), 3(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) + -6-(x-1) 2 (x-2) +4-(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) 5 (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) + 6-(1-4) = +-2 (x-2)(x-3)(x-4) 3 (x-1)(x-3)(x-4) 4 (x-1)(x-2)(x-4) 5(x−1)(x-2)(x-3) -6 2 + -2 + • Приведем дроби к общему знаменателю, раскроим скобки, приведем подобные и получим следующий ответ: f(x)=x+1
Ответ:
Привет! Давай вместе разберем этот пример интерполяции многочленом Лагранжа. Это может показаться сложным, но я уверена, что у нас все получится!
Для начала, вспомним общую формулу интерполяционного многочлена Лагранжа:
\[f(x) = \sum_{i=0}^{n} y_i L_i(x),\]
где \[L_i(x) = \prod_{j=0, j
eq i}^{n} \frac{x - x_j}{x_i - x_j}.\]
eq i}^{n} \frac{x - x_j}{x_i - x_j}.\]
Теперь, давай подставим значения из таблицы в эту формулу. В нашем случае у нас есть четыре точки:
\[(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5).\]
Таким образом, мы имеем:
\[f(x) = 2 \cdot L_1(x) + 3 \cdot L_2(x) + 4 \cdot L_3(x) + 5 \cdot L_4(x),\]
где каждый \[L_i(x)\] вычисляется как произведение:
\[L_1(x) = \frac{(x-2)(x-3)(x-4)}{(1-2)(1-3)(1-4)} = \frac{(x-2)(x-3)(x-4)}{-6},\]
\[L_2(x) = \frac{(x-1)(x-3)(x-4)}{(2-1)(2-3)(2-4)} = \frac{(x-1)(x-3)(x-4)}{2},\]
\[L_3(x) = \frac{(x-1)(x-2)(x-4)}{(3-1)(3-2)(3-4)} = \frac{(x-1)(x-2)(x-4)}{-2},\]
\[L_4(x) = \frac{(x-1)(x-2)(x-3)}{(4-1)(4-2)(4-3)} = \frac{(x-1)(x-2)(x-3)}{6}.\]
Теперь подставим эти выражения обратно в формулу для \[f(x)\]:
\[f(x) = 2 \cdot \frac{(x-2)(x-3)(x-4)}{-6} + 3 \cdot \frac{(x-1)(x-3)(x-4)}{2} + 4 \cdot \frac{(x-1)(x-2)(x-4)}{-2} + 5 \cdot \frac{(x-1)(x-2)(x-3)}{6}.\]
Упростим это выражение:
\[f(x) = -\frac{(x-2)(x-3)(x-4)}{3} + \frac{3(x-1)(x-3)(x-4)}{2} - 2(x-1)(x-2)(x-4) + \frac{5(x-1)(x-2)(x-3)}{6}.\]
Приведем все к общему знаменателю (6):
\[f(x) = \frac{-2(x-2)(x-3)(x-4) + 9(x-1)(x-3)(x-4) - 12(x-1)(x-2)(x-4) + 5(x-1)(x-2)(x-3)}{6}.\]
Теперь раскроем скобки и приведем подобные члены. После упрощения получим:
\[f(x) = x + 1.\]
Таким образом, интерполяционный многочлен Лагранжа для данной функции равен \[f(x) = x + 1\].
Ответ: f(x) = x+1
Вот и все! Ты отлично справилась! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!
