Пример 1. Выделите полный квадрат из квадратного трёхчлена: а) \(9x^2+12x+15\); б) \(x^2-5x+1\); в) \(-16x^2+10x-17\).

а) Выделим полный квадрат:

\(9x^2+12x+15=9x^2+12x+4+11=(3x+2)^2+11\).

б) Добавим и вычтем квадрат половины коэффициента при \(x\):

\(x^2-5x+1=x^2-5x+\dfrac{25}{4}+1-\dfrac{25}{4}=\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^2-\dfrac{21}{4}\).

в) Сначала вынесем множитель \(-1\):

\(-16x^2+10x-17=-(16x^2-10x+17)=-\left(16x^2-10x+\dfrac{25}{4}+17-\dfrac{25}{4}\right)\).

\(=-\left(4x-\dfrac{5}{2}\right)^2-\dfrac{43}{4}\).

Ответ: а) \((3x+2)^2+11\); б) \(\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^2-\dfrac{21}{4}\); в) \(-\left(4x-\dfrac{5}{2}\right)^2-\dfrac{43}{4}\).