Пример 1. Составить множество корней уравнения: а) x − 1 = 1; б) 2x − 5 = 7; в) x² − 1 = 0; г) x(x² − 1) = 0; д) x² + 1 = 0; е) 2(x − 5) = (x − 3) + (x − 7).

а) \(x-1=1\).

Прибавим 1 к обеим частям: \(x=2\).

Ответ: \(\{2\}\).

б) \(2x-5=7\).

\(2x=12\), поэтому \(x=6\).

Ответ: \(\{6\}\).

в) \(x^2-1=0\).

\(x^2=1\), поэтому \(x=1\) или \(x=-1\).

Ответ: \(\{-1;1\}\).

г) \(x(x^2-1)=0\).

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

\(x=0\) или \(x^2-1=0\).

Отсюда \(x=0\), \(x=1\) или \(x=-1\).

Ответ: \(\{-1;0;1\}\).

д) \(x^2+1=0\).

\(x^2=-1\). Среди действительных чисел квадрат не может быть отрицательным, поэтому действительных корней нет.

Ответ: \(\varnothing\).

е) \(2(x-5)=(x-3)+(x-7)\).

Раскроем скобки: \(2x-10=2x-10\).

Получили верное равенство при любом действительном \(x\).

Ответ: \(\mathbb{R}\).