Пример 2. Исследовать функцию f(x) = x²-6x² + 5 и изобразить ее график.

Ответ: Исследование функции f(x) = x⁴ - 6x² + 5 и построение графика

Пошаговое решение:

1. Область определения:

Функция f(x) = x⁴ - 6x² + 5 определена для всех действительных чисел, так как это многочлен.

2. Четность/нечетность:

Проверим функцию на четность: f(-x) = (-x)⁴ - 6(-x)² + 5 = x⁴ - 6x² + 5 = f(x). Функция четная, следовательно, ее график симметричен относительно оси y.

3. Производная функции:

f'(x) = 4x³ - 12x = 4x(x² - 3).

4. Критические точки:

Приравняем производную к нулю: 4x(x² - 3) = 0. Корни: x = 0, x = -√3, x = √3.

5. Интервалы монотонности:

• x < -√3: f'(x) < 0 (функция убывает).
• -√3 < x < 0: f'(x) > 0 (функция возрастает).
• 0 < x < √3: f'(x) < 0 (функция убывает).
• x > √3: f'(x) > 0 (функция возрастает).

6. Экстремумы:

• x = -√3: минимум, f(-√3) = (-√3)⁴ - 6(-√3)² + 5 = 9 - 18 + 5 = -4.
• x = 0: максимум, f(0) = 0⁴ - 6(0)² + 5 = 5.
• x = √3: минимум, f(√3) = (√3)⁴ - 6(√3)² + 5 = 9 - 18 + 5 = -4.

7. Вторая производная:

f''(x) = 12x² - 12 = 12(x² - 1).

8. Точки перегиба:

Приравняем вторую производную к нулю: 12(x² - 1) = 0. Корни: x = -1, x = 1.

9. Интервалы выпуклости и вогнутости:

• x < -1: f''(x) > 0 (функция выпукла вниз).
• -1 < x < 1: f''(x) < 0 (функция выпукла вверх).
• x > 1: f''(x) > 0 (функция выпукла вниз).

10. Значения функции в точках перегиба:

• f(-1) = (-1)⁴ - 6(-1)² + 5 = 1 - 6 + 5 = 0.
• f(1) = (1)⁴ - 6(1)² + 5 = 1 - 6 + 5 = 0.

11. Пересечение с осью OX:

Решим уравнение x⁴ - 6x² + 5 = 0. Пусть y = x², тогда y² - 6y + 5 = 0. Корни: y = 1, y = 5. Тогда x = ±1, x = ±√5.

12. Пересечение с осью OY:

f(0) = 5.

График функции:

Ответ: Исследование функции f(x) = x⁴ - 6x² + 5 и построение графика