При выполнении заданий 9-12 укажите ход решения и запишите полученный ответ.

Задание 9

Дано: \( \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \), \( \alpha \) — в первой четверти.

Найти: \( \cos \alpha \).

Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).

Выразим \( \cos^2 \alpha \): \( \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha \).

Подставим значение \( \sin \alpha \):

\[ \cos^2 \alpha = 1 - \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} \]

Так как \( \alpha \) находится в первой четверти, \( \cos \alpha \) положителен.

\[ \cos \alpha = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \]

Ответ: \( \cos \alpha = \frac{1}{2} \).

Задание 10

Найдите нули функции \( y = -5x^2 - 13x + 6 \).

Чтобы найти нули функции, приравняем \( y \) к нулю: \( -5x^2 - 13x + 6 = 0 \).

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4(-5)(6) = 169 + 120 = 289 \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{289} = 17 \]

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 + 17}{2(-5)} = \frac{30}{-10} = -3 \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 - 17}{2(-5)} = \frac{-4}{-10} = 0.4 \]

Ответ: \( x_1 = -3, x_2 = 0.4 \).

Задание 11

Найти производную функции \( f(x) = 5x^4 + 3x^3 + x^2 + 5 \).

Используем правила дифференцирования:

Производная степенной функции \( (x^n)' = nx^{n-1} \).

Производная суммы равна сумме производных.

\[ f'(x) = (5x^4)' + (3x^3)' + (x^2)' + (5)' \]

\[ f'(x) = 5 \cdot 4x^{4-1} + 3 \cdot 3x^{3-1} + 2x^{2-1} + 0 \]

\[ f'(x) = 20x^3 + 9x^2 + 2x \]

Ответ: \( f'(x) = 20x^3 + 9x^2 + 2x \).

Задание 12

В прямоугольном параллелепипеде \( ABCD A_1B_1C_1D_1 \) известно, что \( AC = 13 \), \( CD = 3 \), \( BC = 12 \). Найдите длину ребра \( AA_1 \).

В прямоугольном параллелепипеде все грани являются прямоугольниками.

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( BCD \). По теореме Пифагора: \( BD^2 = BC^2 + CD^2 \).

\[ BD^2 = 12^2 + 3^2 = 144 + 9 = 153 \]

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( BDC_1 \). По теореме Пифагора: \( BC_1^2 = BD^2 + DC_1^2 \). Здесь \( DC_1 = CD = 3 \).

Не совсем понятно, как использовать \( AC=13 \) для нахождения \( AA_1 \) без информации о диагонали параллелепипеда или одной из боковых граней. Однако, если \( AC \) — это диагональ основания \( ABCD \), то в прямоугольном треугольнике \( ABC \) имеем \( AC^2 = AB^2 + BC^2 \). Так как \( AB = CD = 3 \) и \( BC = 12 \), то \( AC^2 = 3^2 + 12^2 = 9 + 144 = 153 \). Следовательно, \( AC = \sqrt{153} \). Но по условию \( AC = 13 \), что противоречит нашим расчетам, если \( AB=3 \).

Предположим, что \( AC \) — это диагональ прямоугольного параллелепипеда \( ABCD A_1B_1C_1D_1 \). Тогда \( AC^2 = AB^2 + BC^2 + AA_1^2 \).

Из условия \( CD = 3 \) и \( BC = 12 \), мы можем предположить, что \( AB = CD = 3 \) и \( AD = BC = 12 \) (или наоборот).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( ABC \) в основании: \( AC_{base}^2 = AB^2 + BC^2 = 3^2 + 12^2 = 9 + 144 = 153 \).

Тогда диагональ параллелепипеда \( d \) связана с диагональю основания \( AC_{base} \) и боковым ребром \( AA_1 \) как \( d^2 = AC_{base}^2 + AA_1^2 \).

Если \( AC=13 \) — это диагональ всего параллелепипеда, то \( 13^2 = 153 + AA_1^2 \). \( 169 = 153 + AA_1^2 \). \( AA_1^2 = 16 \). \( AA_1 = 4 \).

Если \( AC=13 \) — это диагональ грани \( ABC \) (что маловероятно, т.к. обычно используются обозначения \( AC \) для основания и \( AC_1 \) для боковой диагонали), то \( 13^2 = AB^2 + BC^2 \) или \( 13^2 = AB^2 + AA_1^2 \) или \( 13^2 = BC^2 + AA_1^2 \).

Примем, что \( AC = 13 \) — это диагональ всего параллелепипеда.

Ответ: \( AA_1 = 4 \).