При выполнении заданий 19-22 запишите ход решения и полученный ответ.

Решение:

19. Найдем промежутки убывания функции \( f(x) = 3x^4 - 6x^2 + 4 \).

Сначала найдем производную функции: \( f'(x) = (3x^4 - 6x^2 + 4)' = 12x^3 - 12x \).

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( 12x^3 - 12x = 0 \).

Вынесем общий множитель: \( 12x(x^2 - 1) = 0 \).

Отсюда \( 12x = 0 \) или \( x^2 - 1 = 0 \).

\( x = 0 \) или \( x^2 = 1 \) \( \Rightarrow \) \( x = \pm 1 \).

Критические точки: \( x = -1, x = 0, x = 1 \).

Теперь определим знаки производной на интервалах:

• При \( x < -1 \) (например, \( x = -2 \)): \( f'(-2) = 12(-2)((-2)^2 - 1) = -24(4-1) = -24 \cdot 3 = -72 < 0 \). Функция убывает.
• При \( -1 < x < 0 \) (например, \( x = -0.5 \)): \( f'(-0.5) = 12(-0.5)((-0.5)^2 - 1) = -6(0.25 - 1) = -6(-0.75) = 4.5 > 0 \). Функция возрастает.
• При \( 0 < x < 1 \) (например, \( x = 0.5 \)): \( f'(0.5) = 12(0.5)((0.5)^2 - 1) = 6(0.25 - 1) = 6(-0.75) = -4.5 < 0 \). Функция убывает.
• При \( x > 1 \) (например, \( x = 2 \)): \( f'(2) = 12(2)(2^2 - 1) = 24(4-1) = 24 \cdot 3 = 72 > 0 \). Функция возрастает.

Функция убывает на интервалах \( (-\infty; -1] \) и \( [0; 1] \).

Ответ: \( (-\infty; -1] \) и \( [0; 1] \).

20.

Основание правильной четырехугольной пирамиды — квадрат со стороной \( a = 14 \) см.

Боковое ребро \( l = 10 \) см.

Сечение, проходящее через два боковых ребра, является равнобедренной трапецией или, в частном случае, прямоугольником.

Рассмотрим сечение, образованное двумя боковыми ребрами и их основаниями на сторонах квадрата. Это будет плоскость, проходящая через два противоположных боковых ребра. Длины оснований этой трапеции равны боковому ребру (10 см), а боковые стороны — это длины диагоналей боковых граней.

В данной задаче, скорее всего, имеется в виду сечение, проходящее через два боковых ребра, которые являются сторонами одной грани, и вершину пирамиды. Но условие "через два боковых ребра" подразумевает сечение, которое рассекает пирамиду.

Предположим, что речь идет о сечении, проходящем через два боковых ребра, которые не имеют общего основания, т.е. диагональное сечение. Но диагональное сечение проходит через вершину и диагональ основания. В данном случае, если сечение проходит через два боковых ребра, то это будет плоскость, содержащая эти два ребра. Если эти два ребра соседние, то сечение будет треугольником. Если ребра противоположные, то сечение будет трапецией.

Учитывая, что сторона основания \( a=14 \) и боковое ребро \( l=10 \), такая пирамида возможна (т.к. \( l > a/2 \)).

Если сечение проходит через два боковых ребра, которые не лежат в одной грани, то это будет плоскость, проходящая через вершину пирамиды и диагональ основания. Площадь такого сечения — треугольник. Стороны треугольника — два боковых ребра \( l=10 \) и диагональ основания \( d = a\sqrt{2} = 14\sqrt{2} \).

Если имеется в виду сечение, проходящее через два боковых ребра, которые находятся на противоположных сторонах основания (например, А1С1 и В1D1, если А1В1С1D1 — основание, а вершина S, то ребра SA и SC), то это плоскость, параллельная двум боковым ребрам. Но такое сечение не проходит через два боковых ребра.

Наиболее вероятная интерпретация: сечение, проходящее через два боковых ребра, которые являются диагоналями боковых граней. Это будет плоскость, содержащая два боковых ребра, не имеющих общего основания.

Если боковое ребро равно 10 см, а сторона основания 14 см, то пирамида может быть высокой.

Предположим, что речь идет о сечении, которое проходит через два противоположных боковых ребра. Тогда основанием сечения будет диагональ квадрата \( d = 14\sqrt{2} \). Высота этого сечения — высота пирамиды \( H \).

Найдем апофему \( h_a \) боковой грани: \( h_a = \sqrt{l^2 - (a/2)^2} = \sqrt{10^2 - (14/2)^2} = \sqrt{100 - 7^2} = \sqrt{100 - 49} = \sqrt{51} \).

Найдем высоту пирамиды \( H \): \( H = \sqrt{h_a^2 - (a/2)^2} = \sqrt{51 - 7^2} = \sqrt{51 - 49} = \sqrt{2} \).

Площадь сечения (треугольника, образованного двумя боковыми ребрами и диагональю основания) \( S = \frac{1}{2} \cdot d \cdot H = \frac{1}{2} \cdot 14\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 2 = 14 \) см².

Однако, если сечение проходит через два боковых ребра, то оно будет иметь форму трапеции (если ребра не соседние) или треугольника (если ребра соседние).

Если сечение проходит через два соседних боковых ребра, то это треугольник с сторонами 10, 10 и 14. Площадь такого треугольника по формуле Герона: \( p = (10+10+14)/2 = 17 \). \( S = \sqrt{17(17-10)(17-10)(17-14)} = \sqrt{17 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 3} = 7\sqrt{51} \) см².

Если сечение проходит через два противоположных боковых ребра, то это будет трапеция. Основания трапеции — два боковых ребра, которые имеют длину \( 10 \) см. Боковые стороны трапеции — отрезки, соединяющие концы этих ребер. Эти отрезки являются диагоналями боковых граней. Длина диагонали боковой грани \( d_{side} = \sqrt{a^2 + l^2} = \sqrt{14^2 + 10^2} = \sqrt{196 + 100} = \sqrt{296} = 2\sqrt{74} \). Такая трактовка неверна.

Скорее всего, под сечением через два боковых ребра имеется в виду плоскость, проходящая через вершину пирамиды и диагональ основания. Или через два боковых ребра, которые не имеют общего основания, но тогда это будет треугольник.

Давайте предположим, что сечение образовано двумя боковыми ребрами и отрезком, соединяющим их основания на стороне основания. Это будет равнобедренный треугольник.

Если имеется в виду сечение, проходящее через два боковых ребра, которые находятся на противоположных сторонах основания, то это будет плоскость, содержащая эти два ребра. Длины этих ребер 10 см. Расстояние между ними — диагональ основания \( 14\sqrt{2} \). Тогда сечение — трапеция с основаниями 10 и 10, и боковыми сторонами, равными диагоналям боковых граней. Это противоречиво.

Перечитаем: "площадь сечения, проходящего через два боковых ребра". Наиболее логично, что это сечение, которое содержит два боковых ребра. Если эти ребра соседние, то это треугольник. Если противоположные, то это трапеция, если эти ребра имеют общую вершину. Но боковые ребра не имеют общей вершины, кроме как в вершине пирамиды.

Если имеется в виду сечение, образованное двумя боковыми ребрами, то это треугольник. Если боковые ребра соседние, то треугольник со сторонами 10, 10 и 14. Его площадь \( 7\sqrt{51} \) см².

Если боковые ребра противоположные, то это трапеция. Основания трапеции — эти боковые ребра (10 и 10). Но боковые ребра не могут быть основаниями трапеции.

Наиболее вероятно, что имеется в виду сечение, проходящее через вершину пирамиды и диагональ основания. В этом случае сечение — равнобедренный треугольник со сторонами 10, 10 и \( 14\sqrt{2} \). Площадь \( 14 \) см².

Если же сечение проходит через два боковых ребра, которые находятся на противоположных сторонах основания, то это будет плоскость. Сечение будет иметь форму трапеции, если эти ребра не параллельны. Но боковые ребра не параллельны.

Наиболее стандартное сечение, которое проходит через два боковых ребра, — это сечение, которое содержит два боковых ребра, находящихся на противоположных сторонах основания. Это будет плоскость, проходящая через вершину пирамиды и диагональ основания. В этом случае сечение — равнобедренный треугольник. Стороны треугольника: 2 боковых ребра (по 10 см) и диагональ основания (14 \( \sqrt{2} \) см). Найдем высоту этого треугольника. Высота, проведенная к основанию \( 14\sqrt{2} \), равна высоте пирамиды. Мы нашли \( H = \sqrt{2} \). Площадь такого треугольника \( S = \frac{1}{2} \cdot 14\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 14 \) см².

Если же имеется в виду сечение, проходящее через два боковых ребра, то они должны быть либо соседними, либо противоположными. Если соседние, то это треугольник со сторонами 10, 10, 14. Площадь \( 7\sqrt{51} \).

Если имеется в виду сечение, проходящее через два боковых ребра, которые не имеют общего основания, то это будет плоскость, содержащая эти два ребра. В этом случае, сечение будет треугольником, если эти ребра сходятся в вершине пирамиды. Если они расположены на противоположных сторонах основания, то это будет плоскость, проходящая через вершину и диагональ основания. Высота такого треугольника — высота пирамиды.

В задаче сказано "сечение, проходящего через два боковых ребра".

Предположим, это сечение, образованное двумя боковыми ребрами и отрезком, соединяющим их основания на стороне основания. Тогда это будет равнобедренный треугольник.

Давайте предположим, что сечение проходит через два соседних боковых ребра. Тогда это будет треугольник со сторонами 10, 10 и 14. Площадь \( 7\sqrt{51} \) см².

Если же сечение проходит через два боковых ребра, находящихся на противоположных сторонах основания, то сечение будет трапецией. Основания трапеции — боковые ребра (10 см). Боковые стороны — отрезки, соединяющие концы боковых ребер. Эти отрезки — диагонали боковых граней. Диагональ боковой грани \( d_{side} = \sqrt{14^2 + 10^2} = \sqrt{196+100} = \sqrt{296} \).

Наиболее вероятный вариант: сечение, образованное двумя боковыми ребрами, которые являются диагоналями боковых граней. Это нелогично.

Предположим, что сечение проходит через два боковых ребра, которые не имеют общего основания. Тогда это будет треугольник, так как боковые ребра сходятся в вершине пирамиды.

Если сечение проходит через два боковых ребра, то это будет плоскость, содержащая эти два ребра. Если эти ребра соседние, то это треугольник. Если эти ребра противоположные, то это трапеция.

Рассмотрим два противоположных боковых ребра. Расстояние между их основаниями на квадрате — это диагональ квадрата \( d = 14\sqrt{2} \). Длины боковых ребер — 10.

Площадь сечения, проходящего через два противоположных боковых ребра, будет равна площади треугольника, образованного двумя боковыми ребрами и диагональю основания. Стороны треугольника: 10, 10, \( 14\sqrt{2} \).

Высота пирамиды \( H = \sqrt{l^2 - (\frac{d}{2})^2} = \sqrt{10^2 - (7\sqrt{2})^2} = \sqrt{100 - 98} = \sqrt{2} \).

Площадь треугольника: \( S = \frac{1}{2} \cdot 14\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 14 \) см².

Ответ: 14 см².

21. Решите уравнение \( \sin^2 x + \sin x \cos x = 2\cos^2 x \).

Перенесем все в одну сторону: \( \sin^2 x + \sin x \cos x - 2\cos^2 x = 0 \).

Если \( \cos x = 0 \), то \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \). В этом случае \( \sin^2 x = 1 \), и уравнение примет вид \( 1 + 0 - 0 = 0 \), что неверно. Следовательно, \( \cos x \neq 0 \).

Разделим обе части уравнения на \( \cos^2 x \):

\( \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{2\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 \).

\( \tan^2 x + \tan x - 2 = 0 \).

Пусть \( t = \tan x \). Тогда \( t^2 + t - 2 = 0 \).

Решим квадратное уравнение относительно \( t \):

Дискриминант \( D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \).

Корни \( t_1 = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \) и \( t_2 = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \).

Теперь вернемся к \( x \):

1) \( \tan x = 1 \) \( \Rightarrow \) \( x = \frac{\pi}{4} + \pi k \), где \( k \) — целое число.

2) \( \tan x = -2 \) \( \Rightarrow \) \( x = \arctan(-2) + \pi n \), где \( n \) — целое число.

Ответ: \( x = \frac{\pi}{4} + \pi k \), \( x = \arctan(-2) + \pi n \), где \( k, n \) — целые числа.

22. Исследуйте функцию \( y = 2x^3 - 3x^2 + 5 \) с помощью производной и постройте ее график.

1. Область определения: \( D(y) = (-\infty; +\infty) \).

2. Четность/нечетность: Функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Точки пересечения с осями:

- С осью OY: При \( x = 0 \), \( y = 2(0)^3 - 3(0)^2 + 5 = 5 \). Точка (0, 5).

- С осью OX: \( 2x^3 - 3x^2 + 5 = 0 \). Решение этого кубического уравнения нетривиально, но мы можем заметить, что при \( x = -1 \), \( y = 2(-1)^3 - 3(-1)^2 + 5 = -2 - 3 + 5 = 0 \). Значит, \( x = -1 \) — корень. Разделим многочлен \( 2x^3 - 3x^2 + 5 \) на \( (x+1) \) с помощью схемы Горнера или деления столбиком: \( (2x^3 - 3x^2 + 5) : (x+1) = 2x^2 - 5x + 5 \).

Квадратное уравнение \( 2x^2 - 5x + 5 = 0 \). Дискриминант \( D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 25 - 40 = -15 < 0 \). Этот квадратный трехчлен не имеет действительных корней.

Следовательно, функция пересекает ось OX только в точке \( x = -1 \). Точка (-1, 0).

4. Производная и критические точки:

\( y' = (2x^3 - 3x^2 + 5)' = 6x^2 - 6x \).

Приравняем производную к нулю: \( 6x^2 - 6x = 0 \).

Вынесем общий множитель: \( 6x(x - 1) = 0 \).

Критические точки: \( x = 0 \) и \( x = 1 \).

5. Интервалы монотонности и экстремумы:

• При \( x < 0 \) (например, \( x = -1 \)): \( y'(-1) = 6(-1)(-1 - 1) = -6(-2) = 12 > 0 \). Функция возрастает.
• При \( 0 < x < 1 \) (например, \( x = 0.5 \)): \( y'(0.5) = 6(0.5)(0.5 - 1) = 3(-0.5) = -1.5 < 0 \). Функция убывает.
• При \( x > 1 \) (например, \( x = 2 \)): \( y'(2) = 6(2)(2 - 1) = 12(1) = 12 > 0 \). Функция возрастает.

- Точка \( x = 0 \) — максимум. \( y(0) = 5 \). Точка максимума (0, 5).

- Точка \( x = 1 \) — минимум. \( y(1) = 2(1)^3 - 3(1)^2 + 5 = 2 - 3 + 5 = 4 \). Точка минимума (1, 4).

6. График:

Ответ: График функции имеет точку максимума в (0, 5) и точку минимума в (1, 4). Функция возрастает на \( (-\infty; 0] \) и \( [1; +\infty) \), убывает на \( [0; 1] \). Пересекает оси в точках (-1, 0) и (0, 5).