При выполнении заданий 13-18 запишите ход решения и полученный ответ.

Решение:

13. Область определения функции \( y = \lg(-x) \) находится при условии \( -x > 0 \), что означает \( x < 0 \).

Ответ: \( x < 0 \).

14. Найдем производную функции \( y = 3.5x^2 - 2x^2 + 13x + 1 \).

Сначала упростим функцию: \( y = 1.5x^2 + 13x + 1 \).

Теперь найдем производную: \( y' = (1.5x^2)' + (13x)' + (1)' = 1.5 \cdot 2x + 13 + 0 = 3x + 13 \).

Ответ: \( y' = 3x + 13 \).

15. Решим уравнение \( \cos 2x + \cos x = 0 \).

Используем формулу косинуса двойного угла: \( \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 \).

Подставим в уравнение: \( 2\cos^2 x - 1 + \cos x = 0 \).

Пусть \( t = \cos x \). Тогда уравнение примет вид: \( 2t^2 + t - 1 = 0 \).

Решим квадратное уравнение относительно \( t \):

Дискриминант \( D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 \).

Корни \( t_1 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \) и \( t_2 = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \).

Теперь вернемся к \( x \):

1) \( \cos x = \frac{1}{2} \) \( \Rightarrow \) \( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.

2) \( \cos x = -1 \) \( \Rightarrow \) \( x = \pi + 2\pi n \), где \( n \) — целое число.

Ответ: \( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k \), \( x = \pi + 2\pi n \), где \( k, n \) — целые числа.

16.

Общее число насосов: 1000.

Число подтекающих насосов: 7.

Число не подтекающих насосов: \( 1000 - 7 = 993 \).

Вероятность того, что случайно выбранный насос не подтекает, равна отношению числа не подтекающих насосов к общему числу насосов.

Вероятность \( P = \frac{\text{Число не подтекающих насосов}}{\text{Общее число насосов}} = \frac{993}{1000} = 0.993 \).

Ответ: 0.993.

17.

Прямоугольник вращается вокруг одной из сторон. Диагональ равна \( d = 10 \) см, одна сторона \( a = 6 \) см.

Найдем вторую сторону \( b \) по теореме Пифагора: \( b^2 = d^2 - a^2 \) \( \Rightarrow \) \( b^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64 \) \( \Rightarrow \) \( b = \sqrt{64} = 8 \) см.

При вращении вокруг стороны \( a = 6 \) см, радиусом вращения будет \( R = b = 8 \) см, а высота цилиндра \( h = a = 6 \) см.

Площадь боковой поверхности цилиндра равна \( S = 2\pi Rh \).

\( S = 2\pi \cdot 8 \cdot 6 = 96\pi \) см².

Ответ: \( 96\pi \) см².

18.

Закон движения тела: \( S(t) = 3t^2 - 5t + 1 \).

Скорость тела находится как производная от пути по времени: \( v(t) = S'(t) \).

\( v(t) = (3t^2 - 5t + 1)' = 6t - 5 \).

Нам нужно найти момент времени, когда скорость будет равна 25:

\( v(t) = 25 \)

\( 6t - 5 = 25 \)

\( 6t = 30 \)

\( t = \frac{30}{6} = 5 \).

Ответ: 5.