При выполнении заданий 11 – 15 запишите ход решения и полученный ответ

Решение:

1. № 11. \( \log_{x-1}(10 - 5x + x^2) = 2 \)
   Условия: \( x - 1 > 0 \) → \( x > 1 \) и \( x - 1
   e 1 \) → \( x
   e 2 \).
   \( 10 - 5x + x^2 = (x-1)^2 \)
   \( 10 - 5x + x^2 = x^2 - 2x + 1 \)
   \( 10 - 5x = -2x + 1 \)
   \( 10 - 1 = 5x - 2x \)
   \( 9 = 3x \)
   \( x = 3 \).
   Условие \( x > 1 \) и \( x
   e 2 \) выполняется.
2. № 12. Решим систему уравнений:
   \( \begin{cases} 3^x \cdot 3^y = 27 \\ x - y = 3 \end{cases} \)
   Из первого уравнения: \( 3^{x+y} = 3^3 \) → \( x+y = 3 \).
   Получаем новую систему:
   \( \begin{cases} x+y = 3 \\ x-y = 3 \end{cases} \)
   Сложим уравнения: \( (x+y) + (x-y) = 3 + 3 \) → \( 2x = 6 \) → \( x = 3 \).
   Подставим \( x=3 \) во второе уравнение: \( 3 - y = 3 \) → \( y = 0 \).
3. № 13. Найдем экстремумы функции: \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 3 \).
   Найдем производную: \( f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \).
   Приравняем производную к нулю: \( 3x^2 - 12x + 9 = 0 \)
   Разделим на 3: \( x^2 - 4x + 3 = 0 \).
   Корни: \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = 3 \).
   Определим знаки производной:
   На \( (-\infty; 1) \) \( f'(x) > 0 \) (функция возрастает).
   На \( (1; 3) \) \( f'(x) < 0 \) (функция убывает).
   На \( (3; +\infty) \) \( f'(x) > 0 \) (функция возрастает).
   Следовательно, \( x=1 \) — точка максимума, \( x=3 \) — точка минимума.
   Найдем значения функции в этих точках:
   \( f(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) - 3 = 1 - 6 + 9 - 3 = 1 \) (максимум).
   \( f(3) = 3^3 - 6(3)^2 + 9(3) - 3 = 27 - 54 + 27 - 3 = -3 \) (минимум).
4. № 14. \( 2\sin^2x + 3\cos x - 3 = 0 \)
   Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2x = 1 - \cos^2x \).
   \( 2(1 - \cos^2x) + 3\cos x - 3 = 0 \)
   \( 2 - 2\cos^2x + 3\cos x - 3 = 0 \)
   \( -2\cos^2x + 3\cos x - 1 = 0 \)
   Умножим на -1: \( 2\cos^2x - 3\cos x + 1 = 0 \).
   Пусть \( y = \cos x \). Тогда \( 2y^2 - 3y + 1 = 0 \).
   Дискриминант \( D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 \).
   \( y_1 = \frac{3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1 \)
   \( y_2 = \frac{3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)
   Возвращаемся к \( \cos x \):
   \( \cos x = 1 \) → \( x = 2\pi n \), где \( n \in Z \).
   \( \cos x = \frac{1}{2} \) → \( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k \), где \( k \in Z \).
5. № 15. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: \( y = x^2 + 2x + 1 \) и \( y = x + 1 \), при \( x = -3 \) и \( x = 2 \).
   Сначала найдем точки пересечения кривых:
   \( x^2 + 2x + 1 = x + 1 \)
   \( x^2 + x = 0 \)
   \( x(x+1) = 0 \)
   \( x = 0 \) или \( x = -1 \).
   В заданном промежутке \( [-3, 2] \) эти точки пересечения делят область на три части: \( [-3, -1] \), \( [-1, 0] \) и \( [0, 2] \).
   На \( [-3, -1] \): \( x^2 + 2x + 1 \) выше \( x + 1 \). Например, при \( x = -2 \), \( y_{параболы} = (-2)^2 + 2(-2) + 1 = 4 - 4 + 1 = 1 \), \( y_{прямой} = -2 + 1 = -1 \).
   На \( [-1, 0] \): \( x + 1 \) выше \( x^2 + 2x + 1 \). Например, при \( x = -0.5 \), \( y_{прямой} = -0.5 + 1 = 0.5 \), \( y_{параболы} = (-0.5)^2 + 2(-0.5) + 1 = 0.25 - 1 + 1 = 0.25 \).
   На \( [0, 2] \): \( x^2 + 2x + 1 \) выше \( x + 1 \). Например, при \( x = 1 \), \( y_{параболы} = 1^2 + 2(1) + 1 = 4 \), \( y_{прямой} = 1 + 1 = 2 \).
   Площадь = \( \int_{-3}^{-1} ((x^2 + 2x + 1) - (x + 1)) dx + \int_{-1}^{0} ((x + 1) - (x^2 + 2x + 1)) dx + \int_{0}^{2} ((x^2 + 2x + 1) - (x + 1)) dx \)
   Площадь = \( \int_{-3}^{-1} (x^2 + x) dx + \int_{-1}^{0} (-x^2 - x) dx + \int_{0}^{2} (x^2 + x) dx \)
   \( \int (x^2+x)dx = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} \)
   \( \int_{-3}^{-1} (x^2 + x) dx = \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} \right]_{-3}^{-1} = (\frac{(-1)^3}{3} + \frac{(-1)^2}{2}) - (\frac{(-3)^3}{3} + \frac{(-3)^2}{2}) = (-\frac{1}{3} + \frac{1}{2}) - (-9 + \frac{9}{2}) = (\frac{-2+3}{6}) - (\frac{-18+9}{2}) = \frac{1}{6} - (-\frac{9}{2}) = \frac{1}{6} + \frac{27}{6} = \frac{28}{6} = \frac{14}{3} \)
   \( \int_{-1}^{0} (-x^2 - x) dx = -\int_{-1}^{0} (x^2 + x) dx = -\left[ \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{0} = -((0) - (\frac{(-1)^3}{3} + \frac{(-1)^2}{2})) = - ( - (-\frac{1}{3} + \frac{1}{2})) = - ( - \frac{1}{6} ) = \frac{1}{6} \)
   \( \int_{0}^{2} (x^2 + x) dx = \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2} = (\frac{2^3}{3} + \frac{2^2}{2}) - (0) = \frac{8}{3} + 2 = \frac{8+6}{3} = \frac{14}{3} \)
   Общая площадь = \( \frac{14}{3} + \frac{1}{6} + \frac{14}{3} = \frac{28}{6} + \frac{1}{6} + \frac{28}{6} = \frac{57}{6} = \frac{19}{2} = 9.5 \).