При выполнении заданий 10-13 запишите ход решения и полученный ответ 10. (2 балла) Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = x² - 2x + 2, прямыми а=1, в=2 и осью Ох.

Решение:

Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиком функции \( y = x^2 - 2x + 2 \), прямыми \( x=1 \) и \( x=2 \), а также осью Ox, необходимо вычислить определённый интеграл.

Сначала найдём корни уравнения \( x^2 - 2x + 2 = 0 \), чтобы определить, пересекает ли график ось Ox в заданном интервале. Дискриминант \( D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4 \). Так как \( D < 0 \), парабола не пересекает ось Ox.

В интервале \( [1, 2] \) значение функции \( y = x^2 - 2x + 2 \) положительно (например, при \( x=1 \), \( y=1 \), при \( x=2 \), \( y=2 \)). Следовательно, площадь фигуры равна определённому интегралу от функции \( y = x^2 - 2x + 2 \) по интервалу от 1 до 2.

\( S = \int_{1}^{2} (x^2 - 2x + 2) dx \)

1. Найдём первообразную для функции \( y = x^2 - 2x + 2 \): \( F(x) = \frac{x^3}{3} - 2\frac{x^2}{2} + 2x = \frac{x^3}{3} - x^2 + 2x \)
2. Вычислим значение первообразной на границах интервала:
• \( F(2) = \frac{2^3}{3} - 2^2 + 2 \cdot 2 = \frac{8}{3} - 4 + 4 = \frac{8}{3} \)
• \( F(1) = \frac{1^3}{3} - 1^2 + 2 \cdot 1 = \frac{1}{3} - 1 + 2 = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3} \)
3. Вычислим площадь: \( S = F(2) - F(1) = \frac{8}{3} - \frac{4}{3} = \frac{4}{3} \)

Ответ: Площадь фигуры равна \( \frac{4}{3} \).