При выполнении заданий 1 – 10 запишите ход решения и полученный ответ

Решение:

1. № 1. Пусть \( x \) — изначальная цена чайника. После повышения на 19%, цена стала \( x \) + 0.19\( x \) = 1.19\( x \). По условию, \( 1.19x = 1785 \). Тогда \( x = \frac{1785}{1.19} = 1500 \) рублей.
2. № 2. \( 5 + \sqrt{6-x} = 7 \)
   \( \sqrt{6-x} = 7 - 5 \)
   \( \sqrt{6-x} = 2 \)
   Возведём обе части в квадрат: \( 6 - x = 4 \)
   \( x = 6 - 4 = 2 \)
3. № 3. \( 64^{\frac{1}{2}} + 16^{\frac{3}{4}} + \left(\frac{1}{2}\right)^{-5} = \sqrt{64} + (\sqrt[4]{16})^3 + 2^5 = 8 + 2^3 + 32 = 8 + 8 + 32 = 48 \)
4. № 4. \( 5^{x+2} \le \left(\frac{1}{25}\right)^{-3x+4} \)
   \( 5^{x+2} \le (5^{-2})^{-3x+4} \)
   \( 5^{x+2} \le 5^{(-2)(-3x+4)} \)
   \( 5^{x+2} \le 5^{6x-8} \)
   Так как основание степени \( 5 > 1 \), сравниваем показатели:
   \( x + 2 \le 6x - 8 \)
   \( 2 + 8 \le 6x - x \)
   \( 10 \le 5x \)
   \( x \ge 2 \)
5. № 5. \( \log_3(4x-5) = 3 \)
   По определению логарифма:
   \( 4x - 5 = 3^3 \)
   \( 4x - 5 = 27 \)
   \( 4x = 32 \)
   \( x = 8 \)
6. № 6. \( \sin^2x + 2\sin x = 3 \)
   Пусть \( y = \sin x \). Тогда уравнение примет вид: \( y^2 + 2y - 3 = 0 \).
   Дискриминант \( D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \).
   \( y_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 + 4}{2} = 1 \)
   \( y_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 - 4}{2} = -3 \)
   Так как \( y = \sin x \), то \( \sin x = 1 \) или \( \sin x = -3 \).
   \( \sin x = -3 \) не имеет решений, так как \( -1 \le \sin x \le 1 \).
   \( \sin x = 1 \) → \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \), где \( n \in Z \).
7. № 7. Скорость движения точки — это производная от пути по времени.
   \( s(t) = 3t^2 - 2t + 4 \)
   \( v(t) = s'(t) = \frac{d}{dt}(3t^2 - 2t + 4) = 6t - 2 \).
   Найдем скорость в конце 6-ой секунды (при \( t=6 \)):
   \( v(6) = 6 \cdot 6 - 2 = 36 - 2 = 34 \) м/с.
8. № 8. \( \int \left( 5x + \frac{1}{x} - 4 \right) dx = \int 5x dx + \int \frac{1}{x} dx - \int 4 dx \)
   \( = 5 \cdot \frac{x^2}{2} + \ln|x| - 4x + C \)
   \( = \frac{5}{2}x^2 + \ln|x| - 4x + C \)
9. № 9. Даны векторы: \( \vec{a} = \lbrace 4; -3; 5 \rbrace \) и \( \vec{b} = \lbrace -3; 1; 2 \rbrace \).
   Найдем координаты вектора \( \vec{c} = 3\vec{a} - 2\vec{b} \).
   \( 3\vec{a} = 3 \cdot \lbrace 4; -3; 5 \rbrace = \lbrace 12; -9; 15 \rbrace \)
   \( 2\vec{b} = 2 \cdot \lbrace -3; 1; 2 \rbrace = \lbrace -6; 2; 4 \rbrace \)
   \( \vec{c} = \lbrace 12 - (-6); -9 - 2; 15 - 4 \rbrace = \lbrace 12 + 6; -11; 11 \rbrace = \lbrace 18; -11; 11 \rbrace \)
10. № 10. Это задача на сочетания, так как порядок выбора не важен.
    Количество способов выбрать 3 дежурных из 25 человек равно числу сочетаний из 25 по 3:
    \( C_{25}^3 = \frac{25!}{3!(25-3)!} = \frac{25!}{3!22!} = \frac{25 \cdot 24 \cdot 23}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 25 \cdot 4 \cdot 23 = 100 \cdot 23 = 2300 \) способов.