При выполнении заданий 14-19 запишите ход решения и полученный ответ 14. Найдите наибольшее значение функции у = x³-3x²-9x-4 на отрезке [-4; 4]. 15. Найдите все решения уравнения cos 2x + sinx = 0, принадлежащие отрезку [0; 2π]. 16. Решить уравнение (7х + 2)√√4x - 3x² - 1 = 0 2-1=0 17. Через точку М, лежащую между параллельными плоскостями а и в, проведены прямые а и в. Прямая а пересекает плоскости а и в в точках А1 и А2 соответственно, прямая в - в точках В1 и В2. Найдите длину отрезка МВ2, если А1В1: А2В2 = 3:4, B1B2 = 14 см. , 18. Площадь осевого сечения цилиндра равна 108 см² а его образующая в три раза меньше диаметра основания. Найдите площадь полной поверхности цилиндра. { (3x - 2y = -1 19. Решите систему уравнений 38x = 9 33y

14. Наибольшее значение функции

Давай найдем наибольшее значение функции y = x³ - 3x² - 9x - 4 на отрезке [-4; 4].

Сначала найдем производную функции:

\[y' = 3x^2 - 6x - 9\]

Приравняем производную к нулю и найдем критические точки:

\[3x^2 - 6x - 9 = 0\]

\[x^2 - 2x - 3 = 0\]

\[(x - 3)(x + 1) = 0\]

Критические точки: x = 3 и x = -1. Обе точки принадлежат отрезку [-4; 4].

Теперь вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка:

• y(-4) = (-4)³ - 3(-4)² - 9(-4) - 4 = -64 - 48 + 36 - 4 = -80
• y(-1) = (-1)³ - 3(-1)² - 9(-1) - 4 = -1 - 3 + 9 - 4 = 1
• y(3) = (3)³ - 3(3)² - 9(3) - 4 = 27 - 27 - 27 - 4 = -31
• y(4) = (4)³ - 3(4)² - 9(4) - 4 = 64 - 48 - 36 - 4 = -24

Наибольшее значение функции на отрезке [-4; 4] равно 1.

Ответ: 1

15. Решения уравнения cos 2x + sinx = 0

Найдем все решения уравнения cos 2x + sinx = 0, принадлежащие отрезку [0; 2π].

Используем формулу cos 2x = 1 - 2sin²x:

\[1 - 2\sin^2 x + \sin x = 0\]

\[2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0\]

Пусть sin x = t, тогда уравнение примет вид:

\[2t^2 - t - 1 = 0\]

Решим квадратное уравнение:

\[t = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(2)(-1)}}{2(2)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{1 \pm 3}{4}\]

\[t_1 = \frac{1 + 3}{4} = 1, \quad t_2 = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2}\]

Вернемся к переменной x:

\[\sin x = 1 \quad \text{или} \quad \sin x = -\frac{1}{2}\]

Решения уравнения sin x = 1 на отрезке [0; 2π]:

\[x = \frac{\pi}{2}\]

Решения уравнения sin x = -1/2 на отрезке [0; 2π]:

\[x = \frac{7\pi}{6}, \quad x = \frac{11\pi}{6}\]

Ответ: π/2, 7π/6, 11π/6

16. Решить уравнение (7х + 2)√(4x - 3x² - 1) = 0

Решим уравнение (7x + 2)√(4x - 3x² - 1) = 0.

Уравнение распадается на два случая:

1. 7x + 2 = 0
2. √(4x - 3x² - 1) = 0

Решение первого случая:

\[7x + 2 = 0\]

\[x = -\frac{2}{7}\]

Решение второго случая:

\[4x - 3x^2 - 1 = 0\]

\[3x^2 - 4x + 1 = 0\]

\[x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(3)(1)}}{2(3)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{6} = \frac{4 \pm 2}{6}\]

\[x_1 = \frac{4 + 2}{6} = 1, \quad x_2 = \frac{4 - 2}{6} = \frac{1}{3}\]

Проверим корни, подставив их в исходное уравнение:

• x = -2/7: Подкоренное выражение 4(-2/7) - 3(-2/7)² - 1 = -8/7 - 12/49 - 1 < 0, поэтому корень не подходит.
• x = 1: (7(1) + 2)√(4(1) - 3(1)² - 1) = (9)√(4 - 3 - 1) = 0, корень подходит.
• x = 1/3: (7(1/3) + 2)√(4(1/3) - 3(1/3)² - 1) = (13/3)√(4/3 - 1/3 - 1) = (13/3)√(1 - 1) = 0, корень подходит.

Ответ: 1, 1/3

17. Длина отрезка МВ2

Обозначим длину отрезка A₁B₁ = 3x, тогда A₂B₂ = 4x. Так как B₁B₂ = 14 см, то A₁A₂ = B₁B₂ = 14 см. По условию A₁B₁ : A₂B₂ = 3 : 4.

Рассмотрим подобные треугольники MA₁B₁ и MA₂B₂. Тогда:

\[\frac{MA_1}{MA_2} = \frac{MB_1}{MB_2} = \frac{A_1B_1}{A_2B_2} = \frac{3}{4}\]

Пусть MB₁ = 3y, тогда MB₂ = 4y, и B₁B₂ = MB₂ - MB₁ = 4y - 3y = y. По условию B₁B₂ = 14 см, следовательно, y = 14 см.

MB₂ = 4y = 4 * 14 = 56 см.

Ответ: 56 см

18. Площадь полной поверхности цилиндра

Площадь осевого сечения цилиндра равна 108 см², а его образующая в три раза меньше диаметра основания. Найдем площадь полной поверхности цилиндра.

Пусть h - образующая цилиндра, d - диаметр основания. Тогда h = d/3.

Площадь осевого сечения равна S = h * d = 108. Подставим h = d/3:

\[\frac{d}{3} * d = 108\]

\[d^2 = 324\]

\[d = 18 \text{ см}\]

Тогда радиус основания r = d/2 = 9 см, а образующая h = d/3 = 18/3 = 6 см.

Площадь полной поверхности цилиндра S = 2πr(r + h):

\[S = 2\pi * 9 * (9 + 6) = 18\pi * 15 = 270\pi \text{ см}^2\]

Ответ: 270π см²

19. Решите систему уравнений

Решим систему уравнений:

\[\begin{cases} 3x - 2y = -1 \\ \frac{3^{8x}}{3^{3y}} = 9 \end{cases}\]

Преобразуем второе уравнение:

\[3^{8x - 3y} = 3^2\]

\[8x - 3y = 2\]

Теперь у нас система:

\[\begin{cases} 3x - 2y = -1 \\ 8x - 3y = 2 \end{cases}\]

Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2:

\[\begin{cases} 9x - 6y = -3 \\ 16x - 6y = 4 \end{cases}\]

Вычтем первое уравнение из второго:

\[16x - 6y - (9x - 6y) = 4 - (-3)\]

\[7x = 7\]

\[x = 1\]

Подставим x = 1 в первое уравнение:

\[3(1) - 2y = -1\]

\[3 - 2y = -1\]

\[-2y = -4\]

\[y = 2\]

Ответ: x = 1, y = 2