8. При каком значении параметра р система имеет единственное решение? Введите ответ в предложенное ниже поле. { x² + y² = 64 y = -x² + p Система уравнений имеет единственное решение при р = Число

Краткое пояснение: Система уравнений имеет единственное решение, когда парабола касается окружности в одной точке.

Рассмотрим систему уравнений:

\[\begin{cases} x^2 + y^2 = 64 \\ y = -x^2 + p \end{cases}\]

Выразим \( x^2 \) из второго уравнения и подставим в первое:

\[ x^2 = p - y \] \[ (p - y) + y^2 = 64 \] \[ y^2 - y + p - 64 = 0 \]

Для того чтобы система имела единственное решение, дискриминант квадратного уравнения должен быть равен нулю:

\[ D = (-1)^2 - 4(1)(p - 64) = 0 \] \[ 1 - 4p + 256 = 0 \] \[ 257 - 4p = 0 \] \[ 4p = 257 \] \[ p = \frac{257}{4} = 64.25 \]

Однако, геометрически проще рассмотреть. Первое уравнение - окружность с центром в начале координат и радиусом 8. Второе уравнение - парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке \( (0, p) \). Для единственного решения нужно, чтобы вершина параболы находилась на окружности. Таким образом, \( p \) должно быть равно радиусу окружности, то есть 8.

Если парабола касается окружности, то это случай, когда \(y = 8\).

Тогда \( x^2 + 8^2 = 64 \), следовательно \( x^2 = 0 \) и \( x = 0 \).

Подставим \( x = 0 \) и \( y = 8 \) во второе уравнение: \( 8 = -0^2 + p \), следовательно \( p = 8 \).

Ответ: 8