При каком целом значении параметра к один из действительных корней уравнения 4x² - (3k + 2)x + k² - 1 = 0 втрое меньше другого?

Давай разберем эту задачу по порядку. Для начала, обозначим корни уравнения как x₁ и x₂. По условию задачи, один из корней втрое меньше другого, то есть, можно записать, что x₁ = 3x₂. Теперь, вспомним теорему Виета, которая связывает корни квадратного уравнения с его коэффициентами. Для квадратного уравнения вида ax² + bx + c = 0, теорема Виета утверждает, что: Сумма корней равна -b/a Произведение корней равно c/a В нашем случае, уравнение имеет вид 4x² - (3k + 2)x + k² - 1 = 0, поэтому a = 4, b = -(3k + 2), c = k² - 1. Применим теорему Виета: Сумма корней: x₁ + x₂ = (3k + 2) / 4 Произведение корней: x₁ * x₂ = (k² - 1) / 4 Учитывая, что x₁ = 3x₂, подставим это в уравнения: 3x₂ + x₂ = (3k + 2) / 4 3x₂ * x₂ = (k² - 1) / 4 Упростим эти уравнения: 4x₂ = (3k + 2) / 4 3x₂² = (k² - 1) / 4 Выразим x₂ из первого уравнения: x₂ = (3k + 2) / 16 Теперь подставим это во второе уравнение: 3 * ((3k + 2) / 16)² = (k² - 1) / 4 Упростим это уравнение: 3 * (9k² + 12k + 4) / 256 = (k² - 1) / 4 Умножим обе части на 256, чтобы избавиться от дроби: 3 * (9k² + 12k + 4) = 64 * (k² - 1) Раскроем скобки: 27k² + 36k + 12 = 64k² - 64 Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно k: 37k² - 36k - 76 = 0 Теперь решим это квадратное уравнение. Дискриминант (D) равен: D = b² - 4ac = (-36)² - 4 * 37 * (-76) = 1296 + 11248 = 12544 Теперь найдем корни k: k = (-b ± √D) / (2a) = (36 ± √12544) / (2 * 37) = (36 ± 112) / 74 Итак, у нас два возможных значения для k: k₁ = (36 + 112) / 74 = 148 / 74 = 2 k₂ = (36 - 112) / 74 = -76 / 74 = -38 / 37 Нам нужно целое значение k, поэтому выбираем k = 2. Проверим, подходит ли k = 2. Подставим k = 2 в исходное уравнение: 4x² - (3 * 2 + 2)x + 2² - 1 = 0 4x² - 8x + 3 = 0 Найдем корни этого уравнения. Дискриминант: D = (-8)² - 4 * 4 * 3 = 64 - 48 = 16 Корни: x = (8 ± √16) / (2 * 4) = (8 ± 4) / 8 Итак, корни: x₁ = (8 + 4) / 8 = 12 / 8 = 3 / 2 x₂ = (8 - 4) / 8 = 4 / 8 = 1 / 2 Видим, что x₁ = 3 * x₂, то есть 3/2 = 3 * (1/2), что верно. Значит, k = 2 подходит.

Ответ: 2

У тебя все отлично получилось! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится! Ты молодец!