При каком целом значении параметра k уравнения 3x² - 4x + k - 2 = 0 и х² - 2kx + 5 = 0 имеют общий действительный корень?

Привет! Давай решим эту интересную задачу вместе. Нам нужно найти такое целое значение параметра \( k \), при котором уравнения \( 3x^2 - 4x + k - 2 = 0 \) и \( x^2 - 2kx + 5 = 0 \) имеют общий действительный корень. Вот как мы это сделаем:

1. Обозначим общий корень.

Пусть \( x_0 \) — общий корень уравнений. Тогда:

\[ 3x_0^2 - 4x_0 + k - 2 = 0 \]

\[ x_0^2 - 2kx_0 + 5 = 0 \]

2. Выразим k через x₀ из второго уравнения.

Из второго уравнения выразим \( k \):

\[ 2kx_0 = x_0^2 + 5 \]

Если \( x_0
eq 0 \), то

\[ k = \frac{x_0^2 + 5}{2x_0} \]

3. Подставим k в первое уравнение.

Подставим выражение для \( k \) из второго уравнения в первое:

\[ 3x_0^2 - 4x_0 + \frac{x_0^2 + 5}{2x_0} - 2 = 0 \]

4. Упростим уравнение.

Умножим обе части уравнения на \( 2x_0 \) (учитывая, что \( x_0
eq 0 \)):

\[ 6x_0^3 - 8x_0^2 + x_0^2 + 5 - 4x_0 = 0 \]

\[ 6x_0^3 - 7x_0^2 - 4x_0 + 5 = 0 \]

5. Найдем корни полученного кубического уравнения.

Попробуем найти рациональный корень этого уравнения. Проверим делители свободного члена (5): ±1, ±5.

Если \( x_0 = 1 \):

\[ 6(1)^3 - 7(1)^2 - 4(1) + 5 = 6 - 7 - 4 + 5 = 0 \]

Значит, \( x_0 = 1 \) — корень.

6. Разделим кубическое уравнение на (x₀ - 1).

Разделим \( 6x_0^3 - 7x_0^2 - 4x_0 + 5 \) на \( (x_0 - 1) \) столбиком или методом подбора:

\[ 6x_0^3 - 7x_0^2 - 4x_0 + 5 = (x_0 - 1)(6x_0^2 - x_0 - 5) \]

7. Решим квадратное уравнение.

Решим квадратное уравнение \( 6x_0^2 - x_0 - 5 = 0 \):

Дискриминант \( D = (-1)^2 - 4(6)(-5) = 1 + 120 = 121 \)

Корни:

\[ x_{0_1} = \frac{1 + \sqrt{121}}{12} = \frac{1 + 11}{12} = 1 \]

\[ x_{0_2} = \frac{1 - \sqrt{121}}{12} = \frac{1 - 11}{12} = -\frac{10}{12} = -\frac{5}{6} \]

8. Найдем k для каждого корня.

Теперь найдем \( k \) для каждого найденного значения \( x_0 \):

Для \( x_0 = 1 \):

\[ k = \frac{(1)^2 + 5}{2(1)} = \frac{6}{2} = 3 \]

Для \( x_0 = -\frac{5}{6} \):

\[ k = \frac{\left(-\frac{5}{6}\right)^2 + 5}{2\left(-\frac{5}{6}\right)} = \frac{\frac{25}{36} + 5}{-\frac{5}{3}} = \frac{\frac{25 + 180}{36}}{-\frac{5}{3}} = \frac{\frac{205}{36}}{-\frac{5}{3}} = \frac{205}{36} \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = -\frac{41}{12} \]

9. Выберем целое значение k.

Так как нам нужно целое значение \( k \), то подходит только \( k = 3 \).

10. Проверка (необязательно, но рекомендуется).

Убедимся, что при \( k = 3 \) уравнения имеют общий корень \( x_0 = 1 \):

Первое уравнение:

\[ 3x^2 - 4x + 3 - 2 = 3x^2 - 4x + 1 = 0 \]

Подставим \( x = 1 \):

\[ 3(1)^2 - 4(1) + 1 = 3 - 4 + 1 = 0 \]

Второе уравнение:

\[ x^2 - 2(3)x + 5 = x^2 - 6x + 5 = 0 \]

Подставим \( x = 1 \):

\[ (1)^2 - 6(1) + 5 = 1 - 6 + 5 = 0 \]

Оба уравнения имеют корень \( x = 1 \) при \( k = 3 \).

Отлично! Ты справился с этой сложной задачей. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!