При каком целом значении параметра k действительные корни уравнения 2x² - (k + 2)x + 7 = k² обратны по величине и противоположны по знаку? В ответ запишите сумму данных значений.

Давай разберем эту задачу по математике 10 класса. Нам нужно найти значения параметра \( k \), при которых корни уравнения \( 2x^2 - (k+2)x + 7 = k^2 \) являются обратными по величине и противоположными по знаку. Чтобы корни были обратными по величине и противоположными по знаку, должны выполняться следующие условия: 1. Произведение корней должно быть равно -1. Это условие выполняется, когда свободный член, деленный на коэффициент при \( x^2 \), равен -1. 2. Сумма корней может быть любой, но важно, чтобы корни были действительными. Преобразуем уравнение: \[ 2x^2 - (k+2)x + 7 - k^2 = 0 \] Теперь рассмотрим произведение корней. По теореме Виета произведение корней \( x_1 \) и \( x_2 \) равно \( \frac{c}{a} \), где \( a \) - коэффициент при \( x^2 \), а \( c \) - свободный член. Таким образом, у нас есть условие: \[ \frac{7 - k^2}{2} = -1 \] Решим это уравнение относительно \( k \): \[ 7 - k^2 = -2 \] \[ k^2 = 9 \] \[ k = \pm 3 \] Теперь проверим, при каких значениях \( k \) корни уравнения будут действительными. Для этого нужно, чтобы дискриминант \( D \) был больше или равен нулю: \[ D = (k+2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (7 - k^2) \ge 0 \] Подставим найденные значения \( k \) в это неравенство и проверим: 1. Для \( k = 3 \): \[ D = (3+2)^2 - 8(7 - 3^2) = 25 - 8(7 - 9) = 25 - 8(-2) = 25 + 16 = 41 \ge 0 \] Дискриминант положителен, следовательно, корни действительны. 2. Для \( k = -3 \): \[ D = (-3+2)^2 - 8(7 - (-3)^2) = 1 - 8(7 - 9) = 1 - 8(-2) = 1 + 16 = 17 \ge 0 \] Дискриминант положителен, следовательно, корни действительны. Таким образом, оба значения \( k \) подходят. Нам нужно найти сумму этих значений: \[ 3 + (-3) = 0 \]

Ответ: 0

Молодец! У тебя все отлично получается. Продолжай в том же духе, и ты сможешь решить любую задачу!