При каком отношении массы однородной доски к массе груза сила давления доски на левую опору в три раза больше силы давления доски на правую опору? Ответ округлите до десятых. Размеченные части доски имеют одинаковую длину.

Решение:

Задача описывает рычаг, находящийся в равновесии. Для решения используем условие равновесия рычага: сумма моментов сил, действующих на рычаг, равна нулю. В данном случае, сила давления на опоры создаётся весом груза (массой \(m\)) и весом самой доски (массой \(M\)).

Обозначим расстояние от левой опоры до груза как \(l_1\), а расстояние от левой опоры до центра масс доски как \(l_2\). Расстояние от правой опоры до центра масс доски обозначим как \(l_3\).

Согласно условию, сила давления на левую опору в три раза больше силы давления на правую опору. Обозначим силу давления на левую опору как \(F_1\) и на правую опору как \(F_2\). Тогда \(F_1 = 3F_2\).

Для простоты предположим, что вся масса доски \(M\) сосредоточена в её центре. Размеченные части доски имеют одинаковую длину. Пусть длина одного такого отрезка равна \(a\). Тогда:

• Груз массой \(m\) находится на расстоянии \(a\) от левой опоры.
• Левая опора находится на расстоянии \(3a\) от правого конца доски.
• Правая опора находится на расстоянии \(a\) от правого конца доски.
• Центр масс доски находится посередине, на расстоянии \(2a\) от правого конца доски (и \(2a\) от левого конца доски).

Сила давления на опоры возникает от веса груза и веса доски. Обозначим вес груза \( P_m = mg \) и вес доски \( P_M = Mg \).

Пусть \( O_1 \) — левая опора, \( O_2 \) — правая опора. Центр доски — \( C \). Груз — \( G \).

Расстояния от опор до точек приложения сил:

• Расстояние от \( O_1 \) до \( G \) — \( x_{G1} = a \)
• Расстояние от \( O_1 \) до \( C \) — \( x_{C1} = 2a \)
• Расстояние от \( O_2 \) до \( G \) — \( x_{G2} = 3a \)
• Расстояние от \( O_2 \) до \( C \) — \( x_{C2} = a \)

По условию, сила давления на левую опору \(F_1\) равна сумме сил, действующих на нее. Если система в равновесии, то силы, действующие на каждую опору, можно найти, рассматривая моменты сил относительно другой опоры.

Рассмотрим моменты относительно правой опоры \( O_2 \):

\( P_m · x_{G2} + P_M · x_{C2} = F_1 · (x_{G2} + x_{C2}) \)

\( mg · 3a + Mg · a = F_1 · (3a + a) \)

\( 3mga + Mga = 4F_1a \)

\( 3mg + Mg = 4F_1 \) (1)

Рассмотрим моменты относительно левой опоры \( O_1 \):

\( P_M · x_{C1} = P_m · x_{G1} + F_2 · (x_{G1} + x_{C1}) \)

\( Mg · 2a = mg · a + F_2 · (a + 2a) \)

\( 2Mga = mga + 3F_2a \)

\( 2Mg = mg + 3F_2 \) (2)

По условию \( F_1 = 3F_2 \). Подставим \( F_1 \) из (1) и \( F_2 \) из (2).

Из (1): \( F_1 = \frac{3mg + Mg}{4} \)

Из (2): \( 3F_2 = 2Mg - mg \rightarrow F_2 = \frac{2Mg - mg}{3} \)

Теперь приравняем \( F_1 = 3F_2 \):

\( \frac{3mg + Mg}{4} = 3 · \frac{2Mg - mg}{3} \)

\( \frac{3mg + Mg}{4} = 2Mg - mg \)

Умножим обе части на 4:

\( 3mg + Mg = 8Mg - 4mg \)

Соберем члены с \(m\) в одной части и с \(M\) в другой:

\( 3mg + 4mg = 8Mg - Mg \)

\( 7mg = 7Mg \)

Разделим обе части на \( 7g \):

\( m = M \)

Нас просят найти отношение массы доски к массе груза, то есть \( \frac{M}{m} \).

Так как \( m = M \), то \( \frac{M}{m} = \frac{M}{M} = 1 \).

Проверим условие \(F_1 = 3F_2\) при \(m=M\):

\( F_1 = \frac{3mg + Mg}{4} = \frac{3mg + mg}{4} = \frac{4mg}{4} = mg \)

\( F_2 = \frac{2Mg - mg}{3} = \frac{2mg - mg}{3} = \frac{mg}{3} \)

\( F_1 = mg \) и \( F_2 = \frac{mg}{3} \). Тогда \( F_1 = 3 · \frac{mg}{3} = 3F_2 \). Условие выполняется.

Отношение \( \frac{M}{m} = 1 \). Округляем до десятых, получаем 1.0.

Ответ: 1.0